一、单选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有 6 座塔, 它们的位置分别为 $A, B, C, D, E, F$.同学们自由行动一段时间后, 每位同学都发现, 自己在所在的位置只能看到位于 $A, B, C, D$处的四座塔, 而看不到位于 $E$ 和 $F$ 的塔. 已知
(1) 同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点, 且这些点彼此不重合;
(2) $A, B, C, D, E, F$ 中任意3点不共线;
(3) 看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡, 例如, 如果某位同学所在的位置 $P$和 $A, B$ 共线, 且 $A$ 在线段 $P B$ 上, 那么该同学就看不到位于 $B$ 处的塔.
请问, 这个旅游小组最多可能有多少名同学?
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 12
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设复数 $z$ 满足 $\frac{4 z-2}{2 \bar{z}-1}+|z|^2=0$ ，则 $|z+1|$ 的值为
设复数 $z$ 满足 $\frac{4 z-2}{2 \bar{z}-1}+|z|^2=0$, 则 $|z+1|$ 的值为
已知正整数 $n$ 的所有正因数排列为： $1=d_1 < d_2 < d_3 < \cdots$, 则在 $1,2,3, \cdots, 2024$ 中使得 $d_{10}=88$的所有数之和为
三、解答题 （ 共 26 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
对于 $\mathbb{R}^3$ 中的任何中心对称的凸多面体 $V$,证明可以找到一个椭球面 $E$, 把凸多面体包在内部,且 $E$ 的表面积不超过 $V$ 的表面积的 3 倍.
Let $n>1$ be a positive integer.
(i) Does there exist a map $f: S^{2 n} \rightarrow \mathbb{C P}^n$ with $\operatorname{deg}(f) \neq 0$ ? Construct an example or disprove it.
(ii) Does there exist a map $f: \mathbb{C P}^n \rightarrow S^{2 n}$ with $\operatorname{deg}(f) \neq 0$ ? Construct an example or disprove it.
Let $\Sigma \subset \mathbb{R}^3$ be an embedded surface in $\mathbb{R}^3$. A surface is calle $\mathrm{d}$ minimal if, for any $p \in \Sigma$, we have $\kappa_1(p)+\kappa_2(p)=0$, whe re $\kappa_1(p)$ and $\kappa_2(p)$ are the two principal curvatures at $p$. Prov e that if $\Sigma$ is closed, then $\Sigma$ cannot be minimal.
Let $M$ be a closed, simply connected 6-dimensional manifol d. Suppose $H_2(M)=\mathbb{Z}_2$. Prove that the Euler characteristic $\chi(M) \neq-1$.
Let $(M, g)$ be a closed oriented $n$-dimensional Riemannian manifold. Let $p \in M$ and $\operatorname{Ric}_p$ be the Ricci curvature tensor a $\mathrm{t} p, p$ be the scalar curvature at $p$ which is given by defined to be $S_p:=\frac{1}{n} \operatorname{Tr}_g\left(\operatorname{Ric}_p\right)$. Prove that the scalar curvature $S(p)$ at $p \in M$ is given by
$$
S_p=\frac{1}{\omega_{n-1}} \int_{S^{n-1}} \operatorname{Ric}_p(V, V) d S^{n-1}
$$
where $\omega_{n-1}$ is the area of the unit sphere $S^{n-1}$ in $T_p M$, $V \in S^{n-1}$ are unit vector fields, and $d S^{n-1}$ is the area eleme nt on $S^{n-1}$.
Let $S^n$ be the $n$-dimensional sphere with $n \geq 2$, and let $G$ be a finite group that acts freely on $S^n$. Suppose $G$ is non-trivial. Then,
(i) Compute the homotopy groups of the quotient space $\pi_i\left(S^n / G\right)$ for $0 \leq i \leq n$.
(ii) Suppose $n$ is even. Prove that $G$ is isomorphic to $\mathbb{Z}_2$.
(iii) Suppose $n$ is odd. Show that $G$ cannot be isomorphic to $\mathbb{Z}_p \times \mathbb{Z}_p$ for $p$ a prime number.
Let $M$ be a closed oriented Riemannian manifold, where $g_t$ is a family of smooth Riemannian metrics smoothly depending on $t \in(-\varepsilon, \varepsilon)$. Suppose there exists a family of eigenfunctio ns $f_t$ and eigenvalues $\lambda_t$ smoothly depending on $t$ such that
$$
\Delta_{g_t} f_t=\lambda_t f_t,
$$
where $\Delta_{g_t}$ is the Laplace-Beltrami operator defined using the Riemannian metric $g_t$. Additionally, assume that $f_0$ is not a co nstant function. We define $\dot{\lambda}:=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \lambda_t$ and $\dot{\Delta}:=\left.\frac{d}{d t}\right|_{t=0} \Delta_{g_t}$. Prove the following:
(i) As $\lambda_0$ is an eigenvalue of $\Delta_{g_0}$, let $V_{\lambda_0}:=\operatorname{Ker}\left(\Delta_{g_0}-\lambda_0\right)$ be the eigenspace of $\lambda_0$, and let $\Pi: L^2\left(M, g_0\right) \rightarrow V_{\lambda_0}$ be th e orthogonal projection onto the eigenspace. Prove that $\dot{\lambda}$ is an eigenvalue of the operator $\Pi \circ \Delta^{\prime}: V_{\lambda_0} \rightarrow V_{\lambda_0}$.
(ii) Let $\varphi_t: M \rightarrow M$ be a 1-parameter family of diffeomorph isms of $M$ and assume $g_t=\varphi_t^* g_0$. Prove that $\dot{\lambda}=0$.
求满足下述条件的最小实数 $\lambda$ : 任意正整数 $n$ 都可以写成 2023 个正整数的乘积 $n=x_1 x_2 \cdots x_{2023}$ ，使得对于每个 $i \in\{1,2, \cdots, 2023\}$ ，要么 $x_i$ 是素数，要么 $x_i \leq n^\lambda$.
求最大的实数 $C$, 使得对任意正整数 $n$ 和任意实数 $x_1, x_2$, $\cdots, x_n$ ，均有
$$
\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n(n-|j-i|) x_i x_j \geq C \sum_{i=1}^n x_i^2 .
$$
给定素数 $p \geq 5$ ，记 $\Omega=\{1,2, \cdots, p\}$. 对任意 $x, y \in \Omega$ ，定义:
$$
r(x, y)= \begin{cases}y-x, & y \geq x \\ y-x+p, & y < x\end{cases}
$$
对 $\Omega$ 的非空子集 $A$ ，定义
$$
f(A)=\sum_{x \in A} \sum_{y \in A}(r(x, y))^2 .
$$
如果 $\Omega$ 的子集 $A$ 满足 $0 < |A| < p$ ，且对于 $\Omega$ 的任意子集 $B$ ，若 $|B|=|A|$ ，则有 $f(B) \geq f(A)$ ，那么称 $A$ 是"好子集".
求最大的正整数 $L$ ，使得存在 $\Omega$ 的 $L$ 个两两不同的好子集 $A_1$, $A_2, \cdots, A_L$ ，满足 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots \subseteq A_L$.
设非负实数 $a_1, a_2, \cdots, a_{2023}$ 满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{2023}=100$. 定义 $N$ 为集合
$$
\left\{(i, j) \mid 1 \leq i \leq j \leq 2023, a_i a_j \geq 1\right\}
$$
的元素个数. 求证: $N \leq 5050$ ，并给出等号成立的充分必要条件.
已知凸多面体 $P$ 的每个顶点恰属于三个不同的面, 且可以将 $P$ 的每个顶点染为黑白两种颜色之一, 使得 $P$ 的每条棱的两个端点不同色. 求证: 可以将 $P$ 的每条棱的内部染为红黄蓝三种颜色之一, 使得每个顶点连的三条棱的颜色两两不同,且每个面恰含两种颜色的棱.
设正整数 $M$ 恰有 $L$ 个不同的质因子。对正整数 $n$, 设 $h(n)$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$中与 $M$ 互质的数的个数. 记 $\beta=\frac{h(M)}{M}$. 求证：集合 $\{1,2, \cdots, M\}$ 中存在不少于 $\frac{M}{3}$ 个数 $n$, 满足
$$
\beta n-\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}-1 \leq h(n) \leq \beta n+\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}+1 .
$$
将每个正整数染为 $c_1, c_2, c_3, c_4$ 四种颜色之一.
(1) 求证: 存在正整数 $n$ 以及 $i, j \in\{1,2,3,4\}$, 使得 $n$ 的全体正约数中 $c_i$ 颜色的数比 $c_j$ 颜色的数至少多 3 个;
(2) 求证: 对任意正整数 $A$, 存在正整数 $n$ 以及 $i, j \in\{1,2,3,4\}$, 使得 $n$ 的全体正约数中 $c_i$ 颜色的数比 $c_j$ 颜色的数至少多 $A$ 个.
设 $m$ 是正奇数, $a$ 是整数. 求证：对任意实数 $c$, 区间 $[c, c+\sqrt{m}]$ 中满足 $x^2 \equiv a(\bmod m)$ 的整数 $x$ 的个数不超过 $2+\log _2 m$.
对自然数 $n$, 记
$$
C_n=\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{2 n}^n=\frac{(2 n)!}{n!(n+1)!}
$$
是卡塔兰数. 求证：对任意自然数 $m$ ，均有
$$
\sum_{\substack{i+j+k=m \\ i, j, k \in \mathbb{N}}} C_{i+j} C_{j+k} C_{k+i}=\frac{3}{2 m+3} C_{2 m+1} .
$$
对正整数 $n$ 和 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集 $S$ ，称 $S$ 为" $n$ —好集合"当且仅当对任意 $x, y \in S$ (允许相同), 若 $x+y \leq n$, 则 $x+y \in S$. 定义 $r_n$ 为最小的实数，使得对任意正整数 $m \leq n$ ，都存在 $m$ 元的" $n$ —好集合"，满足其元素之和不超过 $m \cdot r_n$. 求证：存在实数 $\alpha$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $\left|r_n-\alpha n\right| \leq 2024$ 。
已知整数 $m>1$ 使区间 $[2 m-\sqrt{m}+1,2 m]$ 中有质数. 求证: 对任意互不相同的正整数 $a_1, a_2, \cdots, a_m$, 都存在 $1 \leq i, j \leq m$, 满足 $\frac{a_i}{\left(a_i, a_j\right)} \geq m$.
给定正整数 $n$. 一个边长为 $3 n$ 的正三角形被分成了 $9 n^2$ 个单位正三角形, 每个单位正三角形被染为红、黄、蓝三种颜色之一，满足每种颜色恰好出现 $3 n^2$ 次。称由三个单位正三角形组成的梯形为"标准梯形"。如果一个标准梯形中的三个小三角形染为三种不同的颜色，则称它为"多彩梯形". 求多彩梯形个数的最大值.
称一个正整数为好数，如果可以将其十进制表示划分为至少 5 段，使得每段至少有一个非零数码，且将每段视作一个正整数（忽略开头的所有零）后，可将这些正整数分为两组，满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列（若某组由 1 或 2 个正整数构成，也视为等比数列）。例如 20240327 为好数，这是因为将其划分为 $2|02| 403|2| 7$ 后， $2|02| 2$ 与 $403 \mid 7$ 形成两组等比数列。
若整数 $a>1, m>2$ 使 $p=1+a+a^2+\cdots+a^m$ 为质数, 求证: $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ 为好数。
设整数 $n \geq 3$. 设 $\frac{1}{2} n(n-1)$ 个非负实数 $a_{i, j}(1 \leq i < j \leq n)$ 满足对任意 $1 \leq i < j < k \leq n$, 均有 $a_{i, j}+a_{j, k} \leq a_{i, k}$. 求证:
$$
\left[\frac{n^2}{4}\right] \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^4 \geq\left(\sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^2\right)^2 .
$$
记 $N=10^{2024}$. 设 $S$ 是平面直角坐标系中边平行于坐标轴、边长为 $N$ 的正方形, 其内部有 $N$ 个横坐标互不相同的点 $P_1, P_2, \cdots, P_N$, 满足任两点连线斜率的绝对值不超过 1 . 求证：存在直线 $l$, 使得其中至少有 2024 个点与 $l$ 的距离不超过 1 .
求最小的实数 $C>1$, 满足如下条件: 对任意整数 $n \geq 2$ 和满足 $\frac{1}{a_1}+$ $\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=1$ 的非整正实数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$, 都可以找到正整数 $b_i$, 使得 (1)对 $1 \leq i \leq n, b_i=\left[a_i\right]$ 或 $\left[a_i\right]+1$ :
(2) $1 < \frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+\cdots+\frac{1}{b_n} \leq C$.
在 $n \times n$ 的方格表中, 若两个方格有公共边, 则称它们是相邻的. 若 $l$ 个互异方格 $A_1, A_2, \cdots, A_l$ 满足 $A_i$ 和 $A_{i+1}$ 相邻 $(1 \leq i \leq l-1)$, 则称它们为一条长度为 $l$ 的 "龙". 求最大的正整数 $k$, 使得可以给每个方格填上 0 或者 1 , 并且对任意一个方格 $A$, 和以 $A$ 中数字为首项的 0,1 序列 $m_1, m_2, \cdots, m_k$, 都存在从 $A$ 开始的长度为 $k$的龙, 方格中数字依次是 $m_1, m_2, \cdots, m_k$. (欧阳泽轩供题)
求方程
$$
\frac{\sqrt{3}+2 \sin 2 x}{\sqrt{3}+2 \sin x}=\sqrt{3} \sin x+\frac{\cos 2 x}{2 \cos x}
$$
在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内的解. (李胜宏供题)
设 $a, b, c, d \in(0,1)$, 满足 $a^2+b^2+c^2+d^2=3$. 证明:
$$
\frac{1-a^2}{b+c}+\frac{1-b^2}{c+d}+\frac{1-c^2}{d+a}+\frac{1-d^2}{a+b} < \frac{2}{3} \text {. (李胜宏供题) }
$$