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竞赛3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 1 题），每题只有一个选项正确

1. 几位同学假期组成一个小组去某市旅游. 该市有 6 座塔, 它们的位置分别为

A, B, C, D, E, F

.同学们自由行动一段时间后, 每位同学都发现, 自己在所在的位置只能看到位于

A, B, C, D

处的四座塔, 而看不到位于

E

和

F

的塔. 已知
(1) 同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点, 且这些点彼此不重合;
(2)

A, B, C, D, E, F

中任意3点不共线;
(3) 看不到塔的唯一可能就是视线被其它的塔所阻挡, 例如, 如果某位同学所在的位置

P

和

A, B

共线, 且

A

在线段

P B

上, 那么该同学就看不到位于

B

处的塔.
请问, 这个旅游小组最多可能有多少名同学?

A.

B.

C.

D.

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

2. 设复数

z

满足

\frac{4 z - 2}{2 \bar{z} - 1} + | z |^{2} = 0

，则

| z + 1 |

的值为

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3. 设复数

z

满足

\frac{4 z - 2}{2 \bar{z} - 1} + | z |^{2} = 0

, 则

| z + 1 |

的值为

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4. 已知正整数

n

的所有正因数排列为：

1 = d_{1} < d_{2} < d_{3} < \dots

, 则在

1, 2, 3, \dots, 2024

中使得

d_{10} = 88

的所有数之和为

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三、解答题（共 26 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5. 对于

R^{3}

中的任何中心对称的凸多面体

V

,证明可以找到一个椭球面

E

, 把凸多面体包在内部,且

E

的表面积不超过

V

的表面积的 3 倍.

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6. Let

n > 1

be a positive integer.
(i) Does there exist a map

f : S^{2 n} \to {C P}^{n}

with

\deg (f) \neq 0

? Construct an example or disprove it.
(ii) Does there exist a map

f : {C P}^{n} \to S^{2 n}

with

\deg (f) \neq 0

? Construct an example or disprove it.

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7. Let

Σ \subset R^{3}

be an embedded surface in

R^{3}

. A surface is calle

d

minimal if, for any

p \in Σ

, we have

κ_{1} (p) + κ_{2} (p) = 0

, whe re

κ_{1} (p)

and

κ_{2} (p)

are the two principal curvatures at

p

. Prov e that if

Σ

is closed, then

Σ

cannot be minimal.

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8. Let

M

be a closed, simply connected 6-dimensional manifol d. Suppose

H_{2} (M) = Z_{2}

. Prove that the Euler characteristic

χ (M) \neq - 1

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9. Let

(M, g)

be a closed oriented

n

-dimensional Riemannian manifold. Let

p \in M

and

{Ric}_{p}

be the Ricci curvature tensor a

t p, p

be the scalar curvature at

p

which is given by defined to be

S_{p} := \frac{1}{n} {Tr}_{g} ({Ric}_{p})

. Prove that the scalar curvature

S (p)

p \in M

is given by

S_{p} = \frac{1}{ω_{n - 1}} \int_{S^{n - 1}} {Ric}_{p} (V, V) d S^{n - 1}

where

ω_{n - 1}

is the area of the unit sphere

S^{n - 1}

T_{p} M

V \in S^{n - 1}

are unit vector fields, and

d S^{n - 1}

is the area eleme nt on

S^{n - 1}

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10. Let

S^{n}

be the

n

-dimensional sphere with

n \geq 2

, and let

G

be a finite group that acts freely on

S^{n}

. Suppose

G

is non-trivial. Then,
(i) Compute the homotopy groups of the quotient space

π_{i} (S^{n} / G)

for

0 \leq i \leq n

.
(ii) Suppose

n

is even. Prove that

G

is isomorphic to

Z_{2}

.
(iii) Suppose

n

is odd. Show that

G

cannot be isomorphic to

Z_{p} \times Z_{p}

for

p

a prime number.

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11. Let

M

be a closed oriented Riemannian manifold, where

g_{t}

is a family of smooth Riemannian metrics smoothly depending on

t \in (- ε, ε)

. Suppose there exists a family of eigenfunctio ns

f_{t}

and eigenvalues

λ_{t}

smoothly depending on

t

such that

Δ_{g_{t}} f_{t} = λ_{t} f_{t},

where

Δ_{g_{t}}

is the Laplace-Beltrami operator defined using the Riemannian metric

g_{t}

. Additionally, assume that

f_{0}

is not a co nstant function. We define

\dot{λ} := {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} λ_{t}

and

\dot{Δ} := {\frac{d}{d t} |}_{t = 0} Δ_{g_{t}}

. Prove the following:
(i) As

λ_{0}

is an eigenvalue of

Δ_{g_{0}}

, let

V_{λ_{0}} := Ker (Δ_{g_{0}} - λ_{0})

be the eigenspace of

λ_{0}

, and let

Π : L^{2} (M, g_{0}) \to V_{λ_{0}}

be th e orthogonal projection onto the eigenspace. Prove that

\dot{λ}

is an eigenvalue of the operator

Π \circ Δ^{'} : V_{λ_{0}} \to V_{λ_{0}}

.
(ii) Let

φ_{t} : M \to M

be a 1-parameter family of diffeomorph isms of

M

and assume

g_{t} = φ_{t}^{*} g_{0}

. Prove that

\dot{λ} = 0

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12. 求满足下述条件的最小实数

λ

: 任意正整数

n

都可以写成 2023 个正整数的乘积

n = x_{1} x_{2} \dots x_{2023}

，使得对于每个

i \in {1, 2, \dots, 2023}

，要么

x_{i}

是素数，要么

x_{i} \leq n^{λ}

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13. 求最大的实数

C

, 使得对任意正整数

n

和任意实数

x_{1}, x_{2}

\dots, x_{n}

，均有

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} (n - | j - i |) x_{i} x_{j} \geq C \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} .

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14. 给定素数

p \geq 5

，记

Ω = {1, 2, \dots, p}

. 对任意

x, y \in Ω

，定义:

r (x, y) = {\begin{cases} y - x, & y \geq x \\ y - x + p, & y < x \end{cases}

对

Ω

的非空子集

A

，定义

f (A) = \sum_{x \in A} \sum_{y \in A} (r (x, y))^{2} .

如果

Ω

的子集

A

满足

0 < | A | < p

，且对于

Ω

的任意子集

B

，若

| B | = | A |

，则有

f (B) \geq f (A)

，那么称

A

是"好子集".

求最大的正整数

L

，使得存在

Ω

的

L

个两两不同的好子集

A_{1}

A_{2}, \dots, A_{L}

，满足

A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq \dots \subseteq A_{L}

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15. 设非负实数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2023}

满足

a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2023} = 100

. 定义

N

为集合

{(i, j) ∣ 1 \leq i \leq j \leq 2023, a_{i} a_{j} \geq 1}

的元素个数. 求证:

N \leq 5050

，并给出等号成立的充分必要条件.

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16. 已知凸多面体

P

的每个顶点恰属于三个不同的面, 且可以将

P

的每个顶点染为黑白两种颜色之一, 使得

P

的每条棱的两个端点不同色. 求证: 可以将

P

的每条棱的内部染为红黄蓝三种颜色之一, 使得每个顶点连的三条棱的颜色两两不同,且每个面恰含两种颜色的棱.

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17. 设正整数

M

恰有

L

个不同的质因子。对正整数

n

, 设

h (n)

是集合

{1, 2, \dots, n}

中与

M

互质的数的个数. 记

β = \frac{h (M)}{M}

. 求证：集合

{1, 2, \dots, M}

中存在不少于

\frac{M}{3}

个数

n

, 满足

β n - \sqrt{β \cdot 2^{L - 3}} - 1 \leq h (n) \leq β n + \sqrt{β \cdot 2^{L - 3}} + 1 .

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18. 将每个正整数染为

c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}

四种颜色之一.
(1) 求证: 存在正整数

n

以及

i, j \in {1, 2, 3, 4}

, 使得

n

的全体正约数中

c_{i}

颜色的数比

c_{j}

颜色的数至少多 3 个;
(2) 求证: 对任意正整数

A

, 存在正整数

n

以及

i, j \in {1, 2, 3, 4}

, 使得

n

的全体正约数中

c_{i}

颜色的数比

c_{j}

颜色的数至少多

A

个.

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19. 设

m

是正奇数,

a

是整数. 求证：对任意实数

c

, 区间

[c, c + \sqrt{m}]

中满足

x^{2} \equiv a (mod m)

的整数

x

的个数不超过

2 + \log_{2} m

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20. 对自然数

n

, 记

C_{n} = \frac{1}{n + 1} C_{2 n}^{n} = \frac{(2 n)!}{n! (n + 1)!}

是卡塔兰数. 求证：对任意自然数

m

，均有

\sum_{\begin{matrix} i + j + k = m \\ i, j, k \in N \end{matrix}} C_{i + j} C_{j + k} C_{k + i} = \frac{3}{2 m + 3} C_{2 m + 1} .

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21. 对正整数

n

和

{1, 2, \dots, n}

的子集

S

，称

S

为"

n

—好集合"当且仅当对任意

x, y \in S

(允许相同), 若

x + y \leq n

, 则

x + y \in S

. 定义

r_{n}

为最小的实数，使得对任意正整数

m \leq n

，都存在

m

元的"

n

—好集合"，满足其元素之和不超过

m \cdot r_{n}

. 求证：存在实数

α

，使得对任意正整数

n

，都有

| r_{n} - α n | \leq 2024

。

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22. 已知整数

m > 1

使区间

[2 m - \sqrt{m} + 1, 2 m]

中有质数. 求证: 对任意互不相同的正整数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{m}

, 都存在

1 \leq i, j \leq m

, 满足

\frac{a_{i}}{(a_{i}, a_{j})} \geq m

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23. 给定正整数

n

. 一个边长为

3 n

的正三角形被分成了

9 n^{2}

个单位正三角形, 每个单位正三角形被染为红、黄、蓝三种颜色之一，满足每种颜色恰好出现

3 n^{2}

次。称由三个单位正三角形组成的梯形为"标准梯形"。如果一个标准梯形中的三个小三角形染为三种不同的颜色，则称它为"多彩梯形". 求多彩梯形个数的最大值.

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24. 称一个正整数为好数，如果可以将其十进制表示划分为至少 5 段，使得每段至少有一个非零数码，且将每段视作一个正整数（忽略开头的所有零）后，可将这些正整数分为两组，满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列（若某组由 1 或 2 个正整数构成，也视为等比数列）。例如 20240327 为好数，这是因为将其划分为

2 | 02 | 403 | 2 | 7

后，

2 | 02 | 2

与

403 ∣ 7

形成两组等比数列。

若整数

a > 1, m > 2

使

p = 1 + a + a^{2} + \dots + a^{m}

为质数, 求证:

\frac{10^{p - 1} - 1}{p}

为好数。

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25. 设整数

n \geq 3

. 设

\frac{1}{2} n (n - 1)

个非负实数

a_{i, j} (1 \leq i < j \leq n)

满足对任意

1 \leq i < j < k \leq n

, 均有

a_{i, j} + a_{j, k} \leq a_{i, k}

. 求证:

[\frac{n^{2}}{4}] \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^{4} \geq {(\sum_{1 \leq i < j \leq n} a_{i, j}^{2})}^{2} .

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26. 记

N = 10^{2024}

. 设

S

是平面直角坐标系中边平行于坐标轴、边长为

N

的正方形, 其内部有

N

个横坐标互不相同的点

P_{1}, P_{2}, \dots, P_{N}

, 满足任两点连线斜率的绝对值不超过 1 . 求证：存在直线

l

, 使得其中至少有 2024 个点与

l

的距离不超过 1 .

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27. 求最小的实数

C > 1

, 满足如下条件: 对任意整数

n \geq 2

和满足

\frac{1}{a_{1}} +

\frac{1}{a_{2}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = 1

的非整正实数

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}

, 都可以找到正整数

b_{i}

, 使得 (1)对

1 \leq i \leq n, b_{i} = [a_{i}]

或

[a_{i}] + 1

:
(2)

1 < \frac{1}{b_{1}} + \frac{1}{b_{2}} + \dots + \frac{1}{b_{n}} \leq C

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28. 在

n \times n

的方格表中, 若两个方格有公共边, 则称它们是相邻的. 若

l

个互异方格

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{l}

满足

A_{i}

和

A_{i + 1}

相邻

(1 \leq i \leq l - 1)

, 则称它们为一条长度为

l

的 "龙". 求最大的正整数

k

, 使得可以给每个方格填上 0 或者 1 , 并且对任意一个方格

A

, 和以

A

中数字为首项的 0,1 序列

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}

, 都存在从

A

开始的长度为

k

的龙, 方格中数字依次是

m_{1}, m_{2}, \dots, m_{k}

. (欧阳泽轩供题)

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29. 求方程

\frac{\sqrt{3} + 2 \sin 2 x}{\sqrt{3} + 2 \sin x} = \sqrt{3} \sin x + \frac{\cos 2 x}{2 \cos x}

在

(0, \frac{π}{2})

内的解. (李胜宏供题)

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30. 设

a, b, c, d \in (0, 1)

, 满足

a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2} = 3

. 证明:

\frac{1 - a^{2}}{b + c} + \frac{1 - b^{2}}{c + d} + \frac{1 - c^{2}}{d + a} + \frac{1 - d^{2}}{a + b} < \frac{2}{3} . (李胜宏供题)

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