一、填空题 （共 7 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设集合 $A=\{2,3,4, \cdots, 4050\}$ ，集合
$B=\left\{(a, b) \mid \log _a b+8 \log _b a=6, a \in A, b \in A\right\}$ ，则集合 $B$ 的元素个数为 $\qquad$ .
$P$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 面 $B C D$ 的中心， $M, N$分别是面 $A B D, A C D$ 上的动点，则 $P M+M N+N P$的最小值为
$\frac{\cos ^2 20^{\circ}+\cos ^2 40^{\circ}+\cos ^2 80^{\circ}}{\sin ^4 20^{\circ}+\sin ^4 40^{\circ}+\sin ^4 80^{\circ}}$ 的值为
设集合 $A=\{2,3,4, \cdots, 4050\}$, 集合 $B=\left\{(a, b) \mid \log _a b+8 \log _b a=6, a \in A, b \in A\right\}$, 则集合 $B$ 的元素个数为
$P$ 是棱长为 $\sqrt{2}$ 的正四面体 $A B C D$ 面 $B C D$ 的中心, $M, N$ 分别是面 $A B D, A C D$ 上的动点,则 $P M+M N+N P$ 的最小值为
$\frac{\cos ^2 20+\cos ^2 40+\cos ^2 80}{\sin ^4 20+\sin ^4 40+\sin ^4 80}$ 的值为
平面上同时和三直线 $y=\frac{3}{4} x, y=-\frac{4}{3}(x-5), y=0$ 相切的所有圆的半径的乘积为
二、解答题 （ 共 23 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
正实数 $x, y, z$ 满足 $x+2 y^2+4 x^2 y^2 z^2=8$ ，则 $\log _4 x+\log _2 y+\log _8 z$ 的最大值为
平面上同时和三直线 $y=\frac{3}{4} x, y=-\frac{4}{3}(x-5), y=0$ 相切的所有圆的半径的乘积为
设 $H$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的垂心， $\odot H$ 与边 $B C$ 切于点 $M$ 且与边 $A B, A C$ 无交点. 已知 $B D, C E$ 分别与 $\odot H$ 切于点 $D, E$ (均异于 $M$ ) ,CF, $B G$ 为 $\triangle A B C$ 的高. 求证: $D, E, F, G$四点共线.
Consider a random sample of size $n$, and write the data as an $r=r_n$ by $c=c_n$ matrix, $\left\{X_{i j}: i=1, \cdots, r_n ; j=1, \cdots, c_n\right\}$ with $n=r_n c_n$. To spec ify notation, $\left\{X_{i j}\right\}$ are i.i.d. with c.d.f. $\mathrm{F}(\mathrm{x})$ and continuous de nsity $f(x)$. Let $\beta$ denote the median, i.e., $F(\beta)=0.5$. Define an estimator by
$$
\hat{\beta}_n=\min _j\left\{\max _i\left\{X_{i j}\right\}\right\} .
$$
(a) What is the condition on $r_n$ when $n \rightarrow \infty$ for median-un biasedness, i.e., $\beta$ is also the median for the distribution of $\hat{\beta}_n$ ?
(b) We further assume $F$ is differentiable in an open neighbo rhood of $\beta$ and has a positive derivative at $\beta$. For $r_n$ in (a), sh ow that $r_n\left(\hat{\beta}_n-\beta\right)$ converges in distribution, and find the li miting distribution function.
在锐角 $\triangle A B C$ 中， $K$ 是 $B C$ 延长线上的一点. 过 $K$ 分别作 $A B, A C$ 的平行线 $K P, K Q$ ，满足 $B K=B P, C K=C Q$.设 $\triangle K P Q$ 的外接圆与 $A K$ 交于点 $T$, 求证:
(1) $\angle B T C+\angle A P B=\angle C Q A$;
(2) $A P \cdot B T \cdot C Q=A Q \cdot C T \cdot B P$.
点 $H$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的垂心, $\odot H$ 与边 $B C$ 切于点 $M$ 且与边 $A B, A C$ 无交点, $B D, C E$分别与 $\odot H$ 切于点 $D, E$ (均异于 $M$ ), $C F, B G$ 为 $\triangle A B C$ 的高. 证明: $D, E, F, G$ 四点共线.
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\angle A>\angle B>\angle C . B_1, C_1$ 是平面上的两点, 满足 $\triangle A C_1 B$和 $\triangle C B_1 A$ 分别是以 $A B, C A$ 为底边, 且顺相似的等腰三角形. 设直线 $B B_1, C C_1$ 交于点 $T$. 假设上述各点两两不同, 求证: $\angle A T C \neq 90^{\circ}$.
设正整数 $n$ 无平方因子, $S$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集, 满足 $|S| \geq \frac{n}{2}$. 求证: 存在 $a, b, c \in S$ (可以相同), 使得 $a b \equiv c(\bmod n)$.
求所有的函数 $f: \mathbb{N}_{+} \rightarrow \mathbb{N}_{+}$, 使得对任意正整数 $a, b$, 均有
$$
\sum_{k=0}^{2 b} f(a+k)=(2 b+1) \cdot f(f(a)+b) .
$$
如图, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $\Omega$ 是外接圆, $O$ 是外心, $\Omega$ 在 $B, C$ 处的切线交于点 $M$, 在 $A, B$ 处的切线交于点 $N$. 设 $A M$ 交 $B C$ 于点 $D, C N$ 交 $A B$ 于点 $F$, 延长 $D F$ 交 $\Omega$ 于点 $P$. 过 $P$ 作 $B O$ 的平行线交线段 $A B, A C$ 分别于点 $Q, R$.若 $P Q^2=P R \cdot Q R$, 求 $\angle A C B$ 的值.
已知凸五边形 $A B C D E$ 满足 $B D=C D=A C$, 且 $B, C, D, E$ 共圆.若 $\angle B A C+\angle A E D=180^{\circ}, \angle D C A=\angle B D E$, 求证: $A B=D E$ 或 $A B=2 A E$.
给定等腰三角形 $A B C$, 其中 $A B=A C$. 动点 $D$ 满足 $A D \| B C, B D>C D$.动点 $E$ 在 $\triangle A B C$ 外接圆不含 $A$ 的弧 $B C$ 上, 满足 $E B < E C$. 射线 $B C$ 上的点 $F$ 满足 $\angle A D E=\angle D F E$. 设射线 $F D$ 交射线 $B A$ 于点 $X$, 射线 $F D$ 交射线 $C A$ 于点 $Y$. 求证: $\angle X E Y$ 为定值.
如图, $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, 线段 $A I$ 交 $\triangle A B C$ 的内切圆于点 $D$, 已知 $B D \perp A C$. 设点 $P$ 满足 $\angle B P A=\angle P A I=90^{\circ}, Q$ 是线段 $B D$ 上一点, 使得 $\triangle A B Q$ 的外接圆与 $B I$ 相切. $X$ 是直线 $P Q$ 上一点, 使得 $\angle I A X=\angle X A C$,求证: $\angle A X P=45^{\circ}$.
求所有的整数 $n \geq 2$, 使得平面上存在 $2 n$ 个不同点 $P_1, \cdots, P_n, Q_1, \cdots, Q_n$,满足:
(1) 这 $2 n$ 个点中任意三个不共线;
(2) 对任意 $1 \leq i \leq n, P_i P_{i+1} \geq 1$, 其中 $P_{n+1}=P_1$;
(3) 对任意 $1 \leq i \leq n, Q_i Q_{i+1} \geq 1$, 其中 $Q_{n+1}=Q_1$;
(4) 对任意 $1 \leq i, j \leq n, P_i Q_j \leq 1$.
设 $P$ 为平面凸多边形, 若线段 $A B$ 的两端点在 $P$ 的边界上, 并且过 $A, B$ 与 $A B$垂直的两条直线之间的区域（含边界）包含 $P$ ，则称线段 $A B$ 为 "锦弦". 求最大的正整数 $k$ ，使得任意平面凸多边形 $P$ 都有 $k$ 条锦弦。（王枫供题）
在锐角 $\triangle A B C$ 中, $A B>A C, O$ 为外心. 设 $D$ 为边 $B C$ 上一点, $O_1, O_2$ 分别为 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C D$ 的外心, $\triangle A O_1 O_2$ 的外接圆与 $\odot O$ 交于不同于点 $A$ 的点 $L$.
证明: $A, O, D$ 三点共线当且仅当 $A L / / B C$. (杨标桂供题)
一项考试的可能得分为 $0,1,2, \cdots, 150$, 有 100 名考生 $P_1, P_2, \cdots, P_{100}$ 考完后依顺时针围成一圈交流成绩, 记 $P_i$ 的得分为 $a_i$. 每个考生 $P_i$ 比较自己与相邻两人 $P_{i-1}, P_{i+1}$ (下标按模 100 理解) 的得分, 定义 $P_i$ 的激励值 $f_i$ 为:
$$
\begin{aligned}
& \qquad f_i= \begin{cases}a_i\left(a_{i-1}+a_{i+1}-a_i\right), & a_i < \min \left\{a_{i-1}, a_{i+1}\right\}, \\
a_i\left(\max \left\{a_{i-1}, a_i, a_{i+1}\right\}-a_i\right), & a_i \geq \min \left\{a_{i-1}, a_{i+1}\right\} .\end{cases} \\
& \text { 记 } S=f_1+f_2+\cdots+f_{100} .
\end{aligned}
$$
(1) 求 $S$ 的最大值;
(2) 求使得 $f_1, f_2, \cdots, f_{100}$ 两两不等的 $S$ 的最大值. (何忆捷供题)
证明: 存在有理数集 $\mathbb{Q}$ 的无限子集 $A$ 和 $B$, 同时满足以下三个条件:
(i) $A \cup B=\mathbb{Q}, A \cap B=\emptyset$;
(ii) $\forall x, y \in A \Rightarrow x y \in B, \forall x, y \in B \Rightarrow x y \in B$;
(iii) $\forall n \in \mathbb{Z},(n, n+1) \cap A \neq \emptyset,(n, n+1) \cap B \neq \emptyset$. (杨晓鸣供题)
求最大的正整数 $n$, 使得平面上存在 $n$ 个点 $P_1, P_2, \cdots, P_n$ (任意三点不共线) 和不过其中任意点的 $n$ 条直线 $l_1, l_2, \cdots, l_n$ (任意三线不共点), 满足对任意 $i \neq j$,直线 $P_i P_j, l_i, l_j$ 三线共点. (王家军供题)
有红、黄、蓝 3 种不同颜色的帽子各足够多顶. 一个游戏团队有 $n(\geq 4)$ 个人,每人都知晓团队的人数为 $n$ ，帽子的颜色有红、黄、蓝 3 种可能. 他们围成一圈进行如下游戏：
步骤 1：AI 给每个人分配一顶帽子，每人都看不到自己的帽子，只能看到与自己相邻的两人 (即顺时针、逆时针离他最近的人) 的帽子;
步骤 2：所有人同时猜自己的帽子颜色，只要有一个人猜对，就视作游戏团队获胜；若所有人都猜错，则 AI 获胜。
游戏团队可在步骤 1 之前约定猜帽子颜色的策略.
（1） $n=4$ 时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论;
（2） $n=9999$ 时，游戏团队是否有必胜策略？证明你的结论.（郑文迅供题）
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B>A C, \triangle A B C$ 的内切圆 $I$ 分别切边 $B C, C A, A B$ 于点 $D, E, F$. 设 $M$ 为 $D E$ 中点, $N$ 为 $D F$ 中点, 直线 $F E$ 与 $B C$ 相交于点 $P$. 过点 $P$ 作动直线 $l$ 交内切圆 $I$ 于不同的两点 $G, H$, 且 $I, M, G$ 和 $I, N, H$ 均不共线, $\triangle I M G$ 的外接圆与 $\triangle I N H$ 的外接圆交于不同于 $I$ 的一点 $Q$. 证明: 点 $Q$ 始终在一个定圆上. (张惠东供题）
设 $m, n$ 为正整数且 $m \leq n$, 证明:
$$
\left|\sum_{k=m}^n\left(\cos \frac{k^2 \pi}{2 n}+i \sin \frac{k^2 \pi}{2 n}\right)\right| \leq \frac{n}{m} \text { 。(王枫供题) }
$$
用 $f(n)$ 表示正整数 $n$ 的二进制表示中数码 " 1 " 占所有数码的比例, 例如 $21=(10101)_2$, 则 $f(21)=\frac{3}{5}$.
（1）是否存在由 21 个不超过 2024 的正整数构成的非常值等差数列 $a_1, a_2, \cdots, a_{21}$, 使得 $f\left(a_1\right)=f\left(a_2\right)=\cdots=f\left(a_{21}\right)$ ? 证明你的结论;
（2）是否存在无穷多个正整数 $m$ ，使得 $f\left(m^2\right)>\frac{7}{10}$ ？证明你的结论.（何忆捷供题）