数学试题讲解

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用

f (n)

表示正整数

n

的二进制表示中数码 " 1 " 占所有数码的比例, 例如

21 = (10101)_{2}

, 则

f (21) = \frac{3}{5}

.
（1）是否存在由 21 个不超过 2024 的正整数构成的非常值等差数列

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{21}

, 使得

f (a_{1}) = f (a_{2}) = \dots = f (a_{21})

? 证明你的结论;
（2）是否存在无穷多个正整数

m

，使得

f (m^{2}) > \frac{7}{10}

？证明你的结论.（何忆捷供题）