如图, $I$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, 线段 $A I$ 交 $\triangle A B C$ 的内切圆于点 $D$, 已知 $B D \perp A C$. 设点 $P$ 满足 $\angle B P A=\angle P A I=90^{\circ}, Q$ 是线段 $B D$ 上一点, 使得 $\triangle A B Q$ 的外接圆与 $B I$ 相切. $X$ 是直线 $P Q$ 上一点, 使得 $\angle I A X=\angle X A C$,求证: $\angle A X P=45^{\circ}$.
