证明: 存在有理数集 $\mathbb{Q}$ 的无限子集 $A$ 和 $B$, 同时满足以下三个条件:
(i) $A \cup B=\mathbb{Q}, A \cap B=\emptyset$;
(ii) $\forall x, y \in A \Rightarrow x y \in B, \forall x, y \in B \Rightarrow x y \in B$;
(iii) $\forall n \in \mathbb{Z},(n, n+1) \cap A \neq \emptyset,(n, n+1) \cap B \neq \emptyset$. (杨晓鸣供题)