对正整数 $n$ 和 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的子集 $S$ ，称 $S$ 为" $n$ —好集合"当且仅当对任意 $x, y \in S$ (允许相同), 若 $x+y \leq n$, 则 $x+y \in S$. 定义 $r_n$ 为最小的实数，使得对任意正整数 $m \leq n$ ，都存在 $m$ 元的" $n$ —好集合"，满足其元素之和不超过 $m \cdot r_n$. 求证：存在实数 $\alpha$ ，使得对任意正整数 $n$ ，都有 $\left|r_n-\alpha n\right| \leq 2024$ 。