二、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
小明玩战机游戏。初始积分为 2 。在游戏进行中, 积分会随着时间线性地连续减少(速率为每单位时间段扣除 1 )。游戏开始后, 每隔一个随机时间段(时长为互相独立的参数为 1 的指数分布), 就会有一架敌机出现在屏幕上。当敌机出现时, 小明立即进行操作, 可以僢间击落对方, 或者瞬间被对方击落。如被敌机击落, 则游戏结束。如小明击落敌机, 则会获得 1.5 个积分, 并且可以选择在击落该次敌机后立即退出游戏, 或者继续游戏。如选择继续游戏, 则须等待到下一架敌机出现, 中途不能主动退出。游戏的难度不断递增: 出现的第 $n$ 架敌机,小明击落对方的概率为 $(0.85)^n$, 被击落的概率为 $1-(0.85)^n$, 且与之前的事件独立。在任何时刻, 如果积分降到 0 , 则游戏自动结束。
问题部分:
(1) 如果游戏中, 小明被击落后, 其之前的积分保持。那么为了游戏结束时的累积积分的数学期望最大化, 小明应该在其击落第几架敌机后主动结束游戏?
(A) 1 .
(B) 2 .
(C) 3 .
(D) 4 .
(2) 假设游戏中, 小明被击落后, 其之前积累的积分会清零。那么为了结束时的期望积分最大化, 小明也会选择一个最优的时间主动结束游戏。请问在游戏结束时(小明主动结束、或积分减到 0 ), 下列哪一个选项最接近游戏结束时小明的期望积分?
(A) 2 .
(B) 4 .
(C) 6 .
(D) 8 .
对于实数 $T>0$, 称欧氏平面 $\mathbb{R}^2$ 的子集 $\Gamma$ 为 $T$-稠密的, 如果对任意 $v \in \mathbb{R}^2$, 存在 $w \in \Gamma$ 满足 $\|v-w\| \leqslant T$. 设 2 阶整方阵 $A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{Z})$ 满足 $\operatorname{det}(A) \neq 0$.
(1) 假设 $\operatorname{tr}(A)=0$. 证明存在 $C>0$, 使得对任意正整数 $n$, 集合
$$
A^n \mathbb{Z}^2:=\left\{A^n v: v \in \mathbb{Z}^2\right\}
$$
是 $C|\operatorname{det}(A)|^{n / 2}$-稠密的.
（2）假设 $A$ 的特征多项式在有理数域上不可约. 证明与(1)相同的结论.
注: 这里 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{Z}^2$ 中的向量约定为列向量, $\mathbb{R}^2$ 中的内积为标准内积, 即 $\langle v, w\rangle=v^t w$.
(提示: 在对(2)的证明中, 可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形: $\mathbb{R}^2$ 中以原点为中心且面积为 4 的任意闭平行四边形中总包含 $\mathbb{Z}^2$ 中的非零向量.)
（1）假设有一枚硬币，投掷得到正面的概率为 $1 / 3$ 。独立地投掷该硬币 $n$ 次, 记 $X_n$ 为其中得到正面的次数。试求 $X_n$ 为偶数的概率在 $n$ 趋于无穷时的极限, 即:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(X_n \text { 为偶数 }\right)
$$
（2）某人在过年期间参加了集五福活动，在这项活动中此人每扫描一次福字，可以随机地得到五张福卡中的一张。假设其每次扫福得到五福之一的概率固定, 分别为 $p_i \in$ $(0,1), i=1,2, \cdots, 5\left(\sum_{i=1}^5 p_i=1\right)$, 并假设其每次扫描得到的结果相互独立。在进行了 $n$ 次扫福之后, 记 $X_n^{(i)}, i=1,2, \cdots, 5$ 为其得到每种福卡的张数。试求以下极限
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(X_{2 n}^{(i)}, i=1,2, \cdots, 5 \text { 全部为偶数 }\right)
$$
有这么一个音乐盒, 它上面有一个圆形的轨道, 轨道上的一点处还有一棵开花的树。当音乐盒处于开启模式时, 音乐盒会发出音乐, 轨道会按照顺时针匀速转动。
你可以在轨道上放置象征恋人的两颗棋子, 我们不妨称它们为小红和小绿。当小红和小绿没有到达树下时, 它们就会在轨道上各自移动。当某一颗棋子到达树下时, 它就会在树下原地等待一段时间。此段时间内, 如果另外一颗棋子也达到了树下, 那么两颗棋子就会相遇, 之后在它们将随即一起顺着轨道移动, 不再分开; 否则, 等待时间结束, 两颗棋子将各自顺着轨道继续移动。
考虑这个音乐盆的数学模型。我们把这个圆形轨道参数化成一个周长为 1 的圆环, 我们认为棋子和树都可以用圆环上点表示。具体来说, 我们用 $X(t) \in[0,1]$ 和 $Y(t) \in[0,1]$ 分别表示 $t$时刻小红和小绿的在轨道上的位置坐标, 而树的坐标是 $\phi=1$, 或者, 等价地, $\phi=0$ 。
当他们都没有抵达树下时（见左图）, 他们的位置变化规律满足
$$
\frac{d}{d t} X(t)=1, \quad \frac{d}{d t} Y(t)=1 .
$$
假设在 $t_0$ 时刻, 小绿到达了树下 (见中图), 即 $Y\left(t_0\right)=1$, 它就会至多等待
$$
\tau=K\left(X\left(t_0\right)\right)
$$
的时间，换句话说，最长等待时间依赖于小红的当时的位置。
在等待期间, 小绿不动, 小红继续移动。如果等待期间的某时刻 $t^* \in\left(t_0, t_0+\tau\right]$, 小红也达到了树下, 即 $X\left(t^*\right)=1$, 那么两棋子相遇。如果等待时间结束时（见右图）, 小红仍没有到达树下, 那么它们俩继续移动, 此时他们的位置分别是
$$
X\left(t_0+\tau\right)=X\left(t_0\right)+\tau, \quad Y\left(t_0+\tau\right)=0 .
$$
注意，虽然小绿的坐标被重置了，但是它在圆环上的位置并没有变。
如果在某时刻小红到达树下, 它也会按照相同的规则等待, 最长等待时间取决于此时小绿的位置。显然, 小红小绿的命运取决于最长等待时间函数 $K(\phi)$ 的形式。
(1) 我们设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个光滑函数, 满足
$$
f^{\prime}>0, \quad f^{\prime \prime} < 0, \quad f(0)=0, \quad f(1)=1 .
$$
并设 $\varepsilon$ 是一个充分小的正的常数。我们定义等待时间函数
$$
K(\phi)=f^{-1}(f(\phi)+\epsilon)-\phi .
$$
证明除了唯一的例外 (特定的初始距离) 之外, 无论小红和小绿的初始距离如何, 他们最终会相遇的。
(2) 我们考虑一个如下形式的 $f$ 函数
$$
f(\phi)=\frac{1}{b} \ln \left(1+\left(e^b-1\right) \phi\right),
$$
这里 $b>0$ 是一个常数。当 $b \ll 1, \varepsilon \ll 1$ 时, 请估算出相遇之前小红小绿走过的圈数的数量级。
设 $b, c$ 为实数，满足关于 $x$ 的方程 $f(x)^2+b f(x)+c=0$有 6 个互不相等的实数解，其中 $f(x)=\left|x-\frac{1}{x}\right|-\left|x+\frac{1}{x}\right|+2$ ，则 $f(2025 b)+f(c+2024)$ 的最小值为
已知正整数 $n$ 的所有正因数排列为:
$1=d_1 < d_2 < d_3 < \cdots$, 则在 $1,2,3, \cdots, 2024$ 中使得 $d_{10}=88$ 的所有数之和为 $\qquad$
实数 $a, b, c$ 满足 $a b+b c+c a=44$ ，求 $\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)$ 的最小值.
是否存在实数 $\lambda$ 和 2024 次的实系数多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ ，满足对任意实数 $x$ 都有 $P\left(x^2-x+1\right)=Q\left(x^2+2 x+\lambda\right)$ . 请说明理由.
Let $Q: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ be a $C_c^{\infty}$ function, i.e. it is smooth and has c ompact support. We assume $Q$ is even, i.e. $Q(x)=Q(-x)$. We assume $Q$ is non-trivial,(i.e. $Q$ does not equal to zero ever ywhere).
Let $T_1(x):=x Q(x)$, and let $T_2(x)=x^2 Q(x)$. Let $T_3:=e^{-x^2}\left(1+x^{2024}\right)$
We also introduce the following notation. For any $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \lambda>0, \alpha \in \mathbb{R}$, we define
$$
f_{\lambda, \alpha}:=\frac{1}{\lambda^{1 / 2}} f\left(\frac{x-\alpha}{\lambda}\right)
$$
We claim: There exists $\delta>0, \varepsilon>0$, so that for any $c \in \mathbb{R}$ wit $\mathrm{h}|c| < \delta$, one can find unique $\lambda, \alpha$ such that the following $\mathrm{h}$ old
(1) $|\lambda-1|+|\alpha| < \varepsilon$.
(2) $\left\langle Q_{\lambda, \alpha}-Q-c T_3, T_1\right\rangle=0$.
(3) $\left\langle Q_{\lambda, \alpha}-Q-c T_3, T_2\right\rangle=0$.
(Here, for any two functions $f_1, f_2$, we define $\left.\left\langle f_1, f_2\right\rangle:=\int f_1(x) f_2(x) \mathrm{d} x\right)$.
Is the above claim correct? Prove your conclusion.
Recall for every $f \in L^2\left(\mathbb{R}^3\right)$, one has that $g(x):=(-\Delta+1)^{-1} f$ is a well-defined $L^2\left(\mathbb{R}^3\right)$ function. A nd one may compute $g$ by solving
$$
(-\Delta+1) g=f
$$
(Recall $\Delta$ in $\mathbb{R}^3$ is defined as $\Delta:=\sum_{i=1}^3 \partial_i^2$, also recall one may also define $(-\Delta+1)^{-1}$ by Fourier theory.)
Now, let $V(x):=e^{-|x|^2}, x \in \mathbb{R}^3$. Prove that the operator $T:=I+(-\Delta+1)^{-1} V$ is invertible in $L^2$.
(Here, $T f:=f+(-\Delta+1)^{-1}(V f)$.)
Let $\psi(\xi) \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$ be smooth and has compact support. Let $\psi(\xi)=0, \forall|\xi| \geq 1$. Let $f_1(\xi), f_2(\xi) \in C_c^{\infty}(\mathbb{R})$, i.e. $f_1, f_2$ ar e smooth and have compact support. Let $u_i: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$, $i=1,2$, be defined as
$$
\begin{gathered}
u_1\left(x_1, x_2\right):=\int_{\mathbb{R}} \psi(\xi) f_1(\xi) e^{i \xi x_1} e^{i \xi^2 x_2} \mathrm{~d} \xi, \\
u_2\left(x_1, x_2\right):=\int_{\mathbb{R}} \psi(\eta-10) f_2(\eta) e^{i \eta x_1} e^{i \eta^2 x_2} \mathrm{~d} \eta .
\end{gathered}
$$
Prove there exists a constant $C$, which may depend on $\psi$, but does not depend on $f_1, f_2$, so that
$$
\left\|u_1 u_2\right\|_{L^2\left(\mathbb{R}^2\right)} \leq C\left\|f_1\right\|_{L^2(\mathbb{R})}\left\|f_2\right\|_{L^2(\mathbb{R})} .
$$
(Hint: One may try to use Plancherel Theorem. It may be usef ul to observe that if one let $H(\xi, \eta)=f_1(\xi) f_2(\eta)$, then $\|H\|_{L^2\left(\mathbb{R}^2\right)}$ are also bounded by $\left\|f_1\right\|_{L^2(\mathbb{R})}\left\|f_2\right\|_{L^2(\mathbb{R})}$
Consider the heat equation in $\mathbb{R}^2$. Let $u=u(t, x)$ is s solutio $\mathrm{n}$ to
$$
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t}-\Delta u=0 \\
\left.u\right|_{t=0}=u_0 \in L^2
\end{array}\right.
$$
Then there exists a universal constant $C$ such that
$$
\int_0^{\infty}\|u(t)\|_{L^2}^2 \mathrm{~d} t \leq C\left\|u_0\right\|_{L^2}^2
$$
Consider the Fourier transform. Let
$$
Q(g, f)(x):=\int_{\mathbb{R}^N} \int_{S^{N-1}} B\left(|x-y|, \frac{x-y}{|x-y|} \cdot \sigma\right) g\left(y^{\prime}\right) f\left(x^{\prime}\right) \mathrm{d} \sigma \mathrm{d} y
$$
where $B$ is a given two variable function, $S^{N-1}$ stands for the unit sphere in $\mathbb{R}^N$ and
$$
x^{\prime}:=\frac{x+y}{2}+\frac{|x-y| \sigma}{2} ; \quad y^{\prime}:=\frac{x+y}{2}-\frac{|x-y| \sigma}{2} .
$$
Then
$$
\widehat{Q(g, f)}(\xi)=(2 \pi)^{-N / 2} \int_{\mathbb{R}^N \times S^{N-1}} \hat{B}\left(|\eta|, \frac{\xi}{|\xi|} \cdot \sigma\right) \hat{g}\left(\xi^{-}+\eta\right) \hat{f}\left(\xi^{+}-\eta\right) \mathrm{d} \sigma \mathrm{d} \eta,
$$
where $\hat{B}(|\eta|, t):=\int_{\mathbb{R}^N} B(|q|, t) e^{-i q \cdot \eta} \mathrm{d} q, \xi^{ \pm}:=\frac{\xi \pm|\xi| \sigma}{2}$.
There are $r$ players, with player $i$ initially having $n_i$ units, $n_i>0, i=1,2, \cdots, r$. At each stage, two of the players are chosen to play a game, with the winner of the game receiving 1 unit from the loser. Any player whose fortune drops to 0 is eliminated, and this continues until a single player has all $n=\sum_{i=1}^r n_i$ units, with that player designated as the winne r. Note that the mechanism to choose two players at each sta ge is unknown. It can be either deterministic or random. Assu me that the results of successive games are independent and that each game is equally likely to be won by either of its two players.
For any set of players $S \subseteq\{1, \cdots, r\}$, let $X(S)$ denote the $\mathrm{n}$ umber of games involving only members of $S$. Does $E(X(S))$ depend on the player selection mechanism? If you think it doesn't depend, calculate the expectation. If you think it depends, give two mechanisms leading to different expecta tions.
Let $X_1, X_2, \cdots$ be independent Bernoulli random variables $s$ atisfying $P\left(X_i=1\right)=p$ and $P\left(X_i=-1\right)=q=1-p$ for some $p \in(0,1)$. Let $S_n=X_1+\cdots+X_n$ and $M=\sup _{n \geq 1}\left(S_n / n\right)$.
(a) Calculate $P(M=0)$.
(b) Show that $P(p-q < M \leq 1)=1$. For any rational num ber $x \in(p-q, 1]$, is $P(M=x)>0$ ? If so, prove it. If not, fi nd a point with zero probability.
Let $X$ have a uniform distribution on the interval $[0,1]$ and le $\mathrm{t} N_{m, k}$ be the digit in the $m$ th place to the right of the decim al point in $X^k$.
(a) Find $\lim _{m \rightarrow \infty} P\left(N_{m, m}=i\right)$ for $i=0,1,2, \cdots, 9$.
(b) Let $k(m)$ be a function of $m$, taking values greater than 1 .
Find a necessary and sufficient condition on $k(m)$ such that $\lim _{m \rightarrow \infty} P\left(N_{m, k(m)}=i\right)=\frac{1}{10}$ for $i=0,1, \cdots, 9$.
Assume we have $n$ observations: $\left(Y_i, x_i\right), i=1, \cdots, n$, wher e $Y_i$ is the random response and $x_i=\left(x_{i 1}, \cdots, x_{i p}\right)^T$ is a ve ctor of $p$ fixed covariates for the $i$ th observation. Denote $\beta=\left(\beta_1, \cdots, \beta_p\right)$ be a unknown $p$-length vector of regressio n coefficients. Let $\theta_i=\sum_{j=1}^p x_{i j} \beta_j, \mu_i=E\left(Y_i\right)$ and $\sigma_i^2=\operatorname{Var}\left(Y_i\right)$. Assume the density of $Y_i$ belongs to the follo wing exponential family:
$$
f\left(y_i ; \theta_i\right)=\exp \left\{\theta_i y_i-b\left(\theta_i\right)\right\},(1)
$$
where $b^{\prime}\left(\theta_i\right)=\mu_i, b^{\prime \prime}\left(\theta_i\right)=\sigma_i^2$. Suppose that all $\theta_i$ 's are con tained in a compact subset of a space $\Theta$. Let $\ell_n(\beta)$ be the log -likelihood function of the data, and let $H_n(\beta)=-\frac{\partial^2 \ell_n(\beta)}{\partial \beta \partial \beta^T}$.
Let $\mathcal{X}$ be the set of all $p$ covariates under consideration. Let $\alpha_0 \subset \mathcal{X}$ be the subset that contains and only contains all the important covariates affecting $Y$ (the corresponding $\beta_j$ 's are nonzero). Let $\alpha$ be any subset of $\mathcal{X}$, and let $\beta(\alpha)$ be the vect or of the components in $\beta$ that correspond to the covariates $\mathrm{i}$ $\mathrm{n} \alpha$. Let $A=\left\{\alpha: \alpha_0 \subset \alpha\right\}$ be the collection of models that including all important covariates. We assume:
(I) There exist positive constants $C_1, C_2$ such that for all suffic iently large $n$,
$$
C_1 < \lambda_{\min }\left\{\frac{1}{n} H_n(\beta)\right\} < \lambda_{\max }\left\{\frac{1}{n} H_n(\beta)\right\} < C_2
$$
where $\lambda_{\min }\left\{\frac{1}{n} H_n(\beta)\right\}$ and $\lambda_{\max }\left\{\frac{1}{n} H_n(\beta)\right\}$ are the smalles $\mathrm{t}$ and largest eigenvalues of $\frac{1}{n} H_n(\beta)$.
(II) For any given $\varepsilon>0$, there exists a constant $\delta>0$ such th at, when $n$ is sufficiently large,
$$
(1-\varepsilon) H_n(\beta(\alpha)) \leq H_n(\tilde{\beta}) \leq(1+\varepsilon) H_n(\beta(\alpha))
$$
for all $\alpha \in A$ and $\tilde{\beta}$ satisfying $\|\tilde{\beta}-\beta(\alpha)\| \leq \delta$.
For any model $\alpha$. let $\hat{\beta}_\alpha$ be the MLE of $\beta(\alpha)$ based on this m odel. Show that
$$
\max _{\alpha \in A}\left\|\hat{\beta}_\alpha-\beta(\alpha)\right\|=O_p\left(n^{-1 / 3}\right)
$$
将 $1,2, \cdots, 99$ 放置在给定的正 99 边形的所有顶点上，每个顶点处放一个数，每个数恰出现一次，称这样的一种放置方式为一个"状态". 若从一个状态可以通过平面内旋转正 99 边形得到另一个状态，则称这两个状态为"等同"的.
定义一次"操作"为选取正 99 边形的两个相邻顶点，并交换这两个顶点上的数. 求最小的正整数 $N$ ，使得对任意两个状态 $\alpha, \beta$ ，都可对 $\alpha$ 进行不超过 $N$ 次操作，得到与 $\beta$ 等同的状态.
是否存在实数 $\lambda$ 和 2024 次的实系数多项式 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 满足对任意实数 $x$, 都有 $P\left(x^2-x+1\right)=Q\left(x^2+2 x+\lambda\right)$. 请说明理由.
设 $M$ 是正整数, $f(x)=x^3+a x^2+b x+c$ 是整系数多项式, 且 $-M \leq$ $a, b, c \leq M$. 已知 $x_1, x_2$ 是 $f(x)$ 的两个不同复根, 求证:
$$
\left|x_1-x_2\right|>\frac{1}{M^2+3 M+1} .
$$
初始时, 黑板上写有一个数 1 .
第1步操作为：将 1 擦掉，并在黑板上写上两个和为 1 的非负实数，记其中的最小者为 $L_2$ 。
对 $k \geq 2$, 第 $k$ 步操作为: 任意擦掉黑板上的一个数, 并在黑板上写上两个和为刚擦掉的数的非负实数, 记此时黑板上 $k+1$ 个数中的最小者为 $L_{k+1}$.求 $\sum_{k=2}^{2024} L_k$ 的最大可能值.
给定整数 $n>1$. 设实数 $x>1$ 满足
$$
x^{101}-n x^{100}+n x-1=0 .
$$
求证: 对任意实数 $0 < a < b < 1$, 存在正整数 $m$, 使得 $a < \left\{x^m\right\} < b$.
设复系数多项式 $P(z)=a_n z^n+\cdots+a_1 z+a_0\left(a_n \neq 0\right)$, 满足当 $|z|=$ 1 时 $|P(z)| \leq 1$. 求证: 对任意 $0 \leq k \leq n-1$, 均有 $\left|a_k\right| \leq 1-\left|a_n\right|^2$.
设整数 $n>k \geq 1$, 质数 $p \mid \mathrm{C}_n^k$. 求证: 可以将 $\{1,2, \cdots, n\}$ 的所有 $k$ 元子集分成 $p$ 个类, 每类中的子集个数相同, 且元素和相等的两个子集属于同一类.
设 $a_1 < a_2 < \cdots < a_{2024}$ 是正整数等差数列, $b_1 < b_2 < \cdots < b_{2024}$ 是正整数等比数列. 求同时出现在两个数列中的整数个数的最大可能值.
求所有的函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, 使得对任意实数 $x, y$, 均有
$$
f(x f(y))+f(y)=f(x+y)+f(x y) .
$$
证明：任意正整数的平方均可表示为 $\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{2(a b+b c+c a)}$ 的形式，其中 $a, b, c$ 为正整数. (杨标桂供题)
设 $a$ 为正整数, $f_a(x)=x^4+a x^2+1$. 定义集合
$P_a=\left\{p \mid p\right.$ 为素数, 且存在正整数 $k$ 使得 $f_a(2 k)$ 是 $p$ 的倍数 $\}$ 。
(1) 证明: 对任意正整数 $a, P_a$ 为无限集;
(2) 若 $P_a$ 的任意两个元素之差是 8 的倍数, 求正整数 $a$ 的最小值. (杨晓鸣供题)
设 $n$ 为正整数. 若平面中存在两点 $A, B$ 及 2024 个不同的点 $P_1, P_2, \cdots, P_{2024}$,满足: 线段 $A B$ 及各条线段 $A P_i, B P_i(i=1,2, \cdots, 2024)$ 的长度均为不超过 $n$ 的正整数, 求 $n$ 的最小值. (何忆捷供题)