对于实数 $T>0$, 称欧氏平面 $\mathbb{R}^2$ 的子集 $\Gamma$ 为 $T$-稠密的, 如果对任意 $v \in \mathbb{R}^2$, 存在 $w \in \Gamma$ 满足 $\|v-w\| \leqslant T$. 设 2 阶整方阵 $A \in \mathrm{M}_2(\mathbb{Z})$ 满足 $\operatorname{det}(A) \neq 0$.
(1) 假设 $\operatorname{tr}(A)=0$. 证明存在 $C>0$, 使得对任意正整数 $n$, 集合
$$
A^n \mathbb{Z}^2:=\left\{A^n v: v \in \mathbb{Z}^2\right\}
$$

是 $C|\operatorname{det}(A)|^{n / 2}$-稠密的.
（2）假设 $A$ 的特征多项式在有理数域上不可约. 证明与(1)相同的结论.
注: 这里 $\mathbb{R}^2$ 和 $\mathbb{Z}^2$ 中的向量约定为列向量, $\mathbb{R}^2$ 中的内积为标准内积, 即 $\langle v, w\rangle=v^t w$.
(提示: 在对(2)的证明中, 可使用如下Minkowski凸体定理的特殊情形: $\mathbb{R}^2$ 中以原点为中心且面积为 4 的任意闭平行四边形中总包含 $\mathbb{Z}^2$ 中的非零向量.)