有这么一个音乐盒, 它上面有一个圆形的轨道, 轨道上的一点处还有一棵开花的树。当音乐盒处于开启模式时, 音乐盒会发出音乐, 轨道会按照顺时针匀速转动。
你可以在轨道上放置象征恋人的两颗棋子, 我们不妨称它们为小红和小绿。当小红和小绿没有到达树下时, 它们就会在轨道上各自移动。当某一颗棋子到达树下时, 它就会在树下原地等待一段时间。此段时间内, 如果另外一颗棋子也达到了树下, 那么两颗棋子就会相遇, 之后在它们将随即一起顺着轨道移动, 不再分开; 否则, 等待时间结束, 两颗棋子将各自顺着轨道继续移动。
考虑这个音乐盆的数学模型。我们把这个圆形轨道参数化成一个周长为 1 的圆环, 我们认为棋子和树都可以用圆环上点表示。具体来说, 我们用 $X(t) \in[0,1]$ 和 $Y(t) \in[0,1]$ 分别表示 $t$时刻小红和小绿的在轨道上的位置坐标, 而树的坐标是 $\phi=1$, 或者, 等价地, $\phi=0$ 。
当他们都没有抵达树下时（见左图）, 他们的位置变化规律满足
$$
\frac{d}{d t} X(t)=1, \quad \frac{d}{d t} Y(t)=1 .
$$
假设在 $t_0$ 时刻, 小绿到达了树下 (见中图), 即 $Y\left(t_0\right)=1$, 它就会至多等待
$$
\tau=K\left(X\left(t_0\right)\right)
$$
的时间，换句话说，最长等待时间依赖于小红的当时的位置。
在等待期间, 小绿不动, 小红继续移动。如果等待期间的某时刻 $t^* \in\left(t_0, t_0+\tau\right]$, 小红也达到了树下, 即 $X\left(t^*\right)=1$, 那么两棋子相遇。如果等待时间结束时（见右图）, 小红仍没有到达树下, 那么它们俩继续移动, 此时他们的位置分别是
$$
X\left(t_0+\tau\right)=X\left(t_0\right)+\tau, \quad Y\left(t_0+\tau\right)=0 .
$$
注意，虽然小绿的坐标被重置了，但是它在圆环上的位置并没有变。
如果在某时刻小红到达树下, 它也会按照相同的规则等待, 最长等待时间取决于此时小绿的位置。显然, 小红小绿的命运取决于最长等待时间函数 $K(\phi)$ 的形式。
(1) 我们设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个光滑函数, 满足
$$
f^{\prime}>0, \quad f^{\prime \prime} < 0, \quad f(0)=0, \quad f(1)=1 .
$$
并设 $\varepsilon$ 是一个充分小的正的常数。我们定义等待时间函数
$$
K(\phi)=f^{-1}(f(\phi)+\epsilon)-\phi .
$$
证明除了唯一的例外 (特定的初始距离) 之外, 无论小红和小绿的初始距离如何, 他们最终会相遇的。
(2) 我们考虑一个如下形式的 $f$ 函数
$$
f(\phi)=\frac{1}{b} \ln \left(1+\left(e^b-1\right) \phi\right),
$$
这里 $b>0$ 是一个常数。当 $b \ll 1, \varepsilon \ll 1$ 时, 请估算出相遇之前小红小绿走过的圈数的数量级。
你可以在轨道上放置象征恋人的两颗棋子, 我们不妨称它们为小红和小绿。当小红和小绿没有到达树下时, 它们就会在轨道上各自移动。当某一颗棋子到达树下时, 它就会在树下原地等待一段时间。此段时间内, 如果另外一颗棋子也达到了树下, 那么两颗棋子就会相遇, 之后在它们将随即一起顺着轨道移动, 不再分开; 否则, 等待时间结束, 两颗棋子将各自顺着轨道继续移动。
考虑这个音乐盆的数学模型。我们把这个圆形轨道参数化成一个周长为 1 的圆环, 我们认为棋子和树都可以用圆环上点表示。具体来说, 我们用 $X(t) \in[0,1]$ 和 $Y(t) \in[0,1]$ 分别表示 $t$时刻小红和小绿的在轨道上的位置坐标, 而树的坐标是 $\phi=1$, 或者, 等价地, $\phi=0$ 。
当他们都没有抵达树下时（见左图）, 他们的位置变化规律满足
$$
\frac{d}{d t} X(t)=1, \quad \frac{d}{d t} Y(t)=1 .
$$
假设在 $t_0$ 时刻, 小绿到达了树下 (见中图), 即 $Y\left(t_0\right)=1$, 它就会至多等待
$$
\tau=K\left(X\left(t_0\right)\right)
$$
的时间，换句话说，最长等待时间依赖于小红的当时的位置。
在等待期间, 小绿不动, 小红继续移动。如果等待期间的某时刻 $t^* \in\left(t_0, t_0+\tau\right]$, 小红也达到了树下, 即 $X\left(t^*\right)=1$, 那么两棋子相遇。如果等待时间结束时（见右图）, 小红仍没有到达树下, 那么它们俩继续移动, 此时他们的位置分别是
$$
X\left(t_0+\tau\right)=X\left(t_0\right)+\tau, \quad Y\left(t_0+\tau\right)=0 .
$$
注意，虽然小绿的坐标被重置了，但是它在圆环上的位置并没有变。
如果在某时刻小红到达树下, 它也会按照相同的规则等待, 最长等待时间取决于此时小绿的位置。显然, 小红小绿的命运取决于最长等待时间函数 $K(\phi)$ 的形式。
(1) 我们设 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 是一个光滑函数, 满足
$$
f^{\prime}>0, \quad f^{\prime \prime} < 0, \quad f(0)=0, \quad f(1)=1 .
$$
并设 $\varepsilon$ 是一个充分小的正的常数。我们定义等待时间函数
$$
K(\phi)=f^{-1}(f(\phi)+\epsilon)-\phi .
$$
证明除了唯一的例外 (特定的初始距离) 之外, 无论小红和小绿的初始距离如何, 他们最终会相遇的。
(2) 我们考虑一个如下形式的 $f$ 函数
$$
f(\phi)=\frac{1}{b} \ln \left(1+\left(e^b-1\right) \phi\right),
$$
这里 $b>0$ 是一个常数。当 $b \ll 1, \varepsilon \ll 1$ 时, 请估算出相遇之前小红小绿走过的圈数的数量级。