对自然数 $n$, 记
$$
C_n=\frac{1}{n+1} \mathrm{C}_{2 n}^n=\frac{(2 n)!}{n!(n+1)!}
$$
是卡塔兰数. 求证：对任意自然数 $m$ ，均有
$$
\sum_{\substack{i+j+k=m \\ i, j, k \in \mathbb{N}}} C_{i+j} C_{j+k} C_{k+i}=\frac{3}{2 m+3} C_{2 m+1} .
$$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$