设正整数 $M$ 恰有 $L$ 个不同的质因子。对正整数 $n$, 设 $h(n)$ 是集合 $\{1,2, \cdots, n\}$中与 $M$ 互质的数的个数. 记 $\beta=\frac{h(M)}{M}$. 求证：集合 $\{1,2, \cdots, M\}$ 中存在不少于 $\frac{M}{3}$ 个数 $n$, 满足
$$
\beta n-\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}-1 \leq h(n) \leq \beta n+\sqrt{\beta \cdot 2^{L-3}}+1 .
$$
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$