称一个正整数为好数，如果可以将其十进制表示划分为至少 5 段，使得每段至少有一个非零数码，且将每段视作一个正整数（忽略开头的所有零）后，可将这些正整数分为两组，满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列（若某组由 1 或 2 个正整数构成，也视为等比数列）。例如 20240327 为好数，这是因为将其划分为 $2|02| 403|2| 7$ 后， $2|02| 2$ 与 $403 \mid 7$ 形成两组等比数列。
若整数 $a>1, m>2$ 使 $p=1+a+a^2+\cdots+a^m$ 为质数, 求证: $\frac{10^{p-1}-1}{p}$ 为好数。