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称一个正整数为好数，如果可以将其十进制表示划分为至少 5 段，使得每段至少有一个非零数码，且将每段视作一个正整数（忽略开头的所有零）后，可将这些正整数分为两组，满足每组内按照适当顺序排列后形成等比数列（若某组由 1 或 2 个正整数构成，也视为等比数列）。例如 20240327 为好数，这是因为将其划分为
2
|
02
|
403
|
2
|
7
后，
2
|
02
|
2
与
403
∣
7
形成两组等比数列。
若整数
a
>
1
,
m
>
2
使
p
=
1
+
a
+
a
2
+
⋯
+
a
m
为质数, 求证:
10
p
−
1
−
1
p
为好数。
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