2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

下列说法中正确的是

$ \text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关 $ \text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交 $ \text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0 $ \text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$

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我来讲解

答案：

解析：

本题容易选择 $\mathrm{A}$, 但是 $\mathrm{A}$ 成立需要条件: 三个列向量全是非零向量才行。
正确答案是 $\mathrm{C}$ 。注意到 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 必然线性相关。
所以必然存在非零实数组 $x_1, x_2, x_3$, 使得 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+x_3 \alpha_3=\mathbf{0}$ 。
我们不妨假定 $x_1 \neq 0$, 于是 $\alpha_1=-\frac{x_2}{x_1} \alpha_2-\frac{x_3}{x_1} \alpha_3$ 。
记 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 表示向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 和向量 $\boldsymbol{\beta}$ 的内积, 于是 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_1\right)=0$, 所以 $\boldsymbol{\alpha}_1=\mathbf{0}$ 。下面给大家留一个思考题。
【额外思考题】上一步的基础上, 能不能推出 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中至少两个为 0 。
就是说, 可不可以只有一个 0 向量, 还是必须要两个或以上的 0 向量才可以满足。
$\mathrm{D}$ 的反例就是三个 0 向量。
【注意】
在没有其他的条件下, 两个向量正交的话当然是可以包含 0 向量的。可以参考下面这张图:
当 $[x, y]=0$ 时,称向里 $x$ 与 $y$ 正交. 显然,若 $x=0$, 则 $x$ 与任何向量都
正交.

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