题号:5674    题型:填空题    来源:2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个解向量, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=$ 0 的基础解系中只有 1 个解向量, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right)=$
​ 0 人点赞 纠错 ​ ​ 14 次查看 ​ 我来讲解
答案：
答案：
1

解析：

【分析】由 $(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个解向量, 可知对应于 $\lambda=2$ 有两个线性无关的特征 向量 $\xi_1, \xi_2$; 由 $(-\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 1 个解向量, 可知对应于 $\lambda=-1$ 有一个特征向量 $\boldsymbol{\eta}$.
$$
\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}=(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})=(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}),
$$
对于齐次线性方程组 $\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 因 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\eta}$ 都为解向量且线性无关, 故 $4-r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right) \geqslant$ 3 , 即 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right) \leqslant 1$.
又由 $4-r(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})=2$ 得 $r(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})=2$, 由 $4-r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=1$ 得 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})=3$,
故 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right) \geqslant r(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})-4=1$,
综上, $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right)=1$.
关闭页面 下载Word格式