题号:
6273
题型:
解答题
来源:
2023《线性代数》方阵n次方计算方法总结与典型例题求解
设 $A=\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$, 求 $A^n(n \geq 1)$
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答案：
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方法 1: 当 $A$ 为方阵且秩 $r(A)=1$ ，则 $A^n=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1} A$ ，其中 $\operatorname{tr}(A)$ 为方阵 $A$ 的迹，即为方阵对角线元素的和.
【参考解答】：因为 $r(A)=r\left(\left(\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)\right)=1, \operatorname{tr}(A)=0$ ，所以由 方法 1 可知:
$$
A^n=\left\{\begin{array}{ll}
\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), n=1 \\
O_{n \times n} & , n \geq 2
\end{array} .\right.
$$
下面验证：由矩阵的乘法原则可知:
$$
A^2=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$
易知零矩阵乘以任何同型矩阵都是零矩阵，所以上述结果正确，即当 $\operatorname{tr}(A)=0$ 时，一定要在 $n \geq 2$ 时，才是零矩阵.
方法 2: 找规律 1，若 $A^2=k A$ ( $k$ 为某常数)，则 $A^n=k^{n-1} A$.
【说明】: 该结论利用归纳法可以直接证明.
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