一、单选题 （共 24 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)=a(x+1)^2-1, g(x)=\cos x+2 a x$ ( $a$ 为常数), 当 $x \in(-1,1)$ 时, 曲线 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$恰有一个交点, 则 $a=$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知实数 $x, y$ 满足 $e^x=y \ln x+y \ln y$, 则满足条件的 $\mathrm{y}$ 的最小正整数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 5
$\text{D.}$ 7
设函数 $f(x)=\frac{e^x+2 \sin x}{1+x^2}$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,1)$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
$\text{A.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
已知定义在 R 上的函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)=f(-x)+3 \mathrm{e}^x$, 则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0, f(0))$ 处的切线方程为
$\text{A.}$ $y=3 x+3$
$\text{B.}$ $y=3 x-3$
$\text{C.}$ $y=x+3$
$\text{D.}$ $y=x-3$
$\left(1 \frac{1}{2}\right)^0-\left(1-0.5^{-2}\right) \div \sqrt[3]{\left(\frac{27}{8}\right)^2}$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{3}$
如图是指数函数(1) $y=a^x$ ，(2) $y=b^x$ ，(3) $y=c^x ，$ (4) $y=d^x$ 的图像，则 $a ， b ， c ， d$ 与 0 和1的大小关系是
$\text{A.}$ $0 < a < b < 1 < c < d$
$\text{B.}$ $0 < b < a < 1 < d < c$
$\text{C.}$ $1 < a < b < c < d$
$\text{D.}$ $0 < a < b < 1 < d < c$
已知 $a=\log _5 2 ， b=\log _{0.5} 0.2 ， c=0.5^{0.2}$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为
$\text{A.}$ $a < c < b$
$\text{B.}$ $a < b < c$
$\text{C.}$ $b < c < a$
$\text{D.}$ $c < a < b$
设 $2^a=5^b=m$ ，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ ，则 $m=$
$\text{A.}$ $\sqrt{10}$
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 20
$\text{D.}$ 100
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^x, x \leq 0 ， \\ \ln x, x>0 ，\end{array}, g(x)=f(x)+x+a\right.$. 若 $g(x)$ 存在 2 个零点，则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[-1,0)$
$\text{B.}$ $[0,+\infty)$
$\text{C.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{D.}$ $[1,+\infty)$
若曲线 $y=\ln (x+2 a)$ 的一条切线为 $y=\mathrm{e} x-2 b$ ( e 为自然对数的底数), 其中 $a, b$ 为正实数, 则 $\frac{1}{\mathrm{e} a}+\frac{1}{b}$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[2, \mathrm{e})$
$\text{B.}$ $(\mathrm{e}, 4]$
$\text{C.}$ $[4,+\infty)$
$\text{D.}$ $[e,+\infty)$
函数 $y=\frac{|\sin x|}{\sin x}+\frac{\cos x}{|\cos x|}+\frac{|\tan x|}{\tan x}+\frac{\cot x}{|\cot x|}$ 的值域是
$\text{A.}$ $\{-2,4\}$
$\text{B.}$ $\{-2,0,4\}$
$\text{C.}$ $\{-2,0,2,4\}$
$\text{D.}$ $\{-4,-2,0,4\}$
已知 $\sin a=\frac{4}{5}$, 并且 $a$ 是第二象限的角, 那么 $\operatorname{tg} a$ 的值等于
$\text{A.}$ $-\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{4}{3}$
函数 $y=\cos ^4 x-\sin ^4 x$ 的最小正周期是
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ $\pi$
$\text{C.}$ $2 \pi$
$\text{D.}$ $4 \pi$
图中曲线是幂函数 ${y}=x^n$ 在第一象限的图象. 已知 $n$ 取 $\pm 2, \pm \frac{1}{2}$ 四个值, 则相应于曲线 ${c} 1 、 {c} 2 、 {c} 3 、 {c} 4$ 的 $n$ 依次为
$\text{A.}$ $-2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},2$
$\text{B.}$ $-2,2,\frac{1}{2},-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $2,-2,-\frac{1}{2},\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2,-2$
若 $\log _{\mathrm{a}} 2 < \operatorname{logb} 2 < 0$, 则
$\text{A.}$ $0 < {a} < {b} < 1$
$\text{B.}$ $0 < {b} < {a} < 1$
$\text{C.}$ ${a}>{b}>1$
$\text{D.}$ $b>a>1$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5 n^2-1}{2 n^2-n+5}$ 的值为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{5}{2}$
设 $\theta$ 是第二象限的角, 则必有
$\text{A.}$ $\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}>\operatorname{ctg} \frac{\theta}{2}$
$\text{B.}$ $\operatorname{tg} \frac{\theta}{2} < \operatorname{ctg} \frac{\theta}{2}$
$\text{C.}$ $\sin \frac{\theta}{2}>\cos \frac{\theta}{2}$
$\text{D.}$ $\sin \frac{\theta}{2} < \cos \frac{\theta}{2}$
当 $a>1$ 时, 在同一坐标系中, 函数 $y=a^{-x}$ 与 $y=\log _a x$ 的图像
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
若 $\sin ^2 x>\cos ^2 x$, 则 $x$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left\{x \left\lvert\, 2 k \pi-\frac{3}{4} \pi < x < 2 k \pi+\frac{1}{4} \pi\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{x \left\lvert\, 2 k \pi+\frac{1}{4} \pi < x < 2 k \pi+\frac{5}{4} \pi\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{x \left\lvert\, k \pi-\frac{1}{4} \pi < x < k \pi+\frac{1}{4} \pi\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{x \left\lvert\, k \pi+\frac{1}{4} \pi < x < k \pi+\frac{3}{4} \pi\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$
已知 $\alpha$ 是第三象限角且 $\sin \alpha=-\frac{24}{25}$, 则 $\tan \frac{\alpha}{2}=$
$\text{A.}$ $\frac{4}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{4}{3}$
将 $y=2^x$ 的图像 () 再作关于直线 $y=x$ 对称的图像, 可得到函数 $y=\log _2(x+1)$ 的图像.
$\text{A.}$ 先向左平行移动 1 个单位
$\text{B.}$ 先向右平行移动 1 个单位
$\text{C.}$ 先向上平行移动 1 个单位
$\text{D.}$ 先向下平行移动 1 个单位
$\sin 600^{\circ}$ 的值是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
函数 $y={a}^{|{x}|}({a}>1)$ 的图象是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
已知点 $P(\sin \alpha-\cos \alpha, \operatorname{tg} \alpha)$ 在第一象限, 则在 $(0,2 \pi)$ 内 $\alpha$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup\left(\pi, \frac{5 \pi}{4}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\pi, \frac{5 \pi}{4}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup\left(\frac{5 \pi}{4}, \frac{3 \pi}{2}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
设函数 $f(x)=2 x^3-3 a x^2+1$, 则
$\text{A.}$ 当 $a>1$ 时, $f(x)$ 有三个零点
$\text{B.}$ 当 $a < 0$ 时, $x=0$ 是 $f(x)$ 的极大值点
$\text{C.}$ 存在 $a, b$, 使得 $x=b$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称轴
$\text{D.}$ 存在 $a$, 使得点 $(1, f(1))$ 为曲线 $y=f(x)$ 的对称中心
已知函数 $f(x)=\min \{\sin x, \cos x\}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 关于直线 $x=-\frac{\pi}{4}$ 对称
$\text{B.}$ $f(x)$ 的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上不单调
$\text{D.}$ 在 $(0,2 \pi)$, 方程 $f(x)=m$ ( $m$ 为常数) 最多有 4 个解
三、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
若曲线 $y=e^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y=\ln (x+1)+a$ 的切线, 则 $a=$
已知函数 $f(x)=2 a e^{2 x}-x^2$ 有三个零点, 求 $\mathrm{a}$ 的取值范围
已知函数 ${f}(\mathrm{x})=\sin {x}-{x}+{ax}^2, {a} \in \mathrm{R}$.
（1）若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\pi$ 处的切线过原点, 求 $a$ 的值;
（2）当 $x \leq 5$ 时, $f(x) \geq 0$, 求 $a$ 的取值范围.
已知 $a>1, \frac{1}{\log _8 a}-\frac{1}{\log _a 4}=-\frac{5}{2}$, 则 $a=$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1, x \leq 0, \\ \log _2 x, x>0\end{array}\right.$ 则函数 $y=f[f(x)]$ 的所有零点之和为
$\operatorname{arctg} \frac{1}{3}+\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$ 的值是
四、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知函数 $f(x)=\ln \frac{x}{2-x}+a x+b(x-1)^3$
(1) 若 $b=0$, 且 $f^{\prime}(x) \geq 0$, 求 $a$ 的最小值:
(2) 证明: 曲线 $f(x)$ 为中心对称函数;
(3) 若 $f(x)>-2$, 当且仅当 $1 < x < 2$, 求 $b$ 的取值范围。
已知函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-a x-a^3$.
(1) 当 $a=1$ 时, 求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程.
(2) 若 $f(x)$ 有极小值, 且极小值小于 0 , 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=(1-a x) \ln (1+x)-x$.
（1）当 $a=-2$ 时, 求 $f(x)$ 的极值；
（2）当 $x \geq 0$ 时, $f(x) \geq 0$, 求 $a$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^2-\ln x, g(x)=\mathrm{e}^{x-1}-\frac{1}{2} x^2-a x(a>0)$.
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 设函数 $F(x)=f(x)+g(x)$. 证明:
(i) 函数 $F(x)$ 有唯一极值点;
(ii) 若函数 $F(x)$ 有唯一零点 $x_0$, 则 $1 < x_0 < 2$.
已知定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数 $f(x)$. 在 $x \in(-1,0)$ 时， $f(x)=2^x+2^{-x}$.
(1)试求 $f(x)$ 的表达式；
(2) 若对于 $x \in(0,1)$ 上的每一个值，不等式 $t \cdot 2^x \cdot f(x) < 4^x-1$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.
已知函数 $f(x)=\lg (x+2)-\lg (2-x)$.
(1)求 $f(x)$ 的定义域；
(2)判断 $f(x)$ 的奇偶性并予以证明;
(3)求不等式 $f(x)>1$ 的解集.
已知函数 $f(x)=x-\frac{1}{a} \ln x$ 与函数 $g(x)=\mathrm{e}^{a x}-x$, 其中 $a>0$
(1) 求 $f(x)$ 的单调区间;
(2)若 $g(x)>0$, 求 $a$ 的取值范围;
(3) 若曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴有两个不同的交点, 求证: 曲线 $y=f(x)$ 与曲线 $y=g(x)$ 共有三个不同的交点.
已知函数 $f(x)=\ln x-a x, g(x)=$ $\frac{2}{a x}, a \neq 0$.
(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间;
(2) 若 $f(x) \leq g(x)$ 恒成立, 求 $a$ 的最小值.