数学

正实数 $x, y, z$ 满足 $x+2 y^2+4 x^2 y^2 z^2=8$, 则 $\log _4 x+\log _2 y+\log _8 z$ 的最大值为

设 $d \geq 0$ 是整数, $V$ 是 $2 d+1$ 维复线性空间, 有一组基
$$
\left\{v_1, v_2, \cdots, v_{2 d+1}\right\} \text {. }
$$

对任一整数 $j\left(0 \leq j \leq \frac{d}{2}\right)$, 记 $U_j$ 是
$$
v_{2 j+1}, v_{2 j+3}, \cdots, v_{2 d-2 j+1}
$$

生成的子空间. 定义线性变换 $f: V \rightarrow V$ 为
$$
f\left(v_i\right)=\frac{(i-1)(2 d+2-i)}{2} v_{i-1}+\frac{1}{2} v_{i+1}, 1 \leq i \leq 2 d+1 .
$$

这里我们约定 $v_0=v_{2 d+2}=0$.
(1) 证明: $f$ 的全部特征值为 $-d,-d+1, \cdots, d$.
(2) 记 $W$ 是从属于特征值 $-d+2 k(0 \leq k \leq d)$ 的 $f$ 的特征子空间的和. 求 $W \cap U_0$ 的维数.
(3) 对任一整数 $j\left(1 \leq j \leq \frac{d}{2}\right)$, 求 $W \cap U_j$ 的维数.

双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右顶点 $A, B$ 的距离为 4 ，
$M, N$ 是 $\Gamma$ 右支上不重合的两动点且满足 $k_{B N}+2 k_{A M}=0$ ( $k_{A M}, k_{B N}$ 是相应直线的斜率). 求动直线 $M N$ 经过的定点的坐标.

双曲线 $\Gamma: \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的左右顶点 $A, B$ 的距离为 $4, M, N$ 是 $\Gamma$ 右支上不重合的两动点且满足 $k_{B N}+2 k_{A M}=0$ ( $k_{A M}, k_{B N}$ 是相应直线的斜率). 求动直线 $M N$ 经过的定点的坐标.

实数 $a, b, c$ 满足 $a b+b c+c a=44$, 求 $\left(a^2+4\right)\left(b^2+4\right)\left(c^2+4\right)$ 的最小值.

设 $m, n$ 是大于 2 的整数. 已知平面上的正 $n$ 边形区域 $T$ 包含某个边长为 1 的正 $m$ 边形区域. 求证: 该平面上的任意一个边长为 $\cos \frac{\pi}{[m, n]}$ 的正 $m$ 边形区域 $S$ 可以平移嵌入区域 $T$, 即存在向量 $\vec{\alpha}$, 满足区域 $S$ 中的每个点平移 $\vec{\alpha}$ 后都落在区域 $T$ 中.
注: 多边形区域包含内部和边界.

对互质的正整数 $a, b$, 用 $\left(a^{-1} \bmod b\right)$ 表示满足 $a m \equiv 1(\bmod b)$ 且 $0 \leq m < $ $b$ 的唯一整数 $m$.
(1) 求证: 对任意两两互质的正整数 $a, b, c, 1 < a < b < c$, 都有
$$
\left(a^{-1} \bmod b\right)+\left(b^{-1} \bmod c\right)+\left(c^{-1} \bmod a\right)>\sqrt{a} .
$$
(2) 求证: 对任意正整数 $M$, 存在两两互质的正整数 $a, b, c$, 满足 $M < a < b < $ $c$, 且
$$
\left(a^{-1} \bmod b\right)+\left(b^{-1} \bmod c\right)+\left(c^{-1} \bmod a\right) < 100 \sqrt{a} .
$$

若实数 $\tau$ 满足: 对任意正整数 $x, y, z$, 均有 $x^2+2 y^2+4 z^2+8 \geq 2 x(y+z+\tau),$
则称 $\tau$ 为 "平生数". 记最大的平生数为 $\tau_0$.
(1) 求 $\tau_0$ 的值;
(2) 求方程 $x^2+2 y^2+4 z^2+8=2 x\left(y+z+\tau_0\right)$ 的所有正整数解 $(x, y, z)$.
(董秋仙供题)