设 $d \geq 0$ 是整数, $V$ 是 $2 d+1$ 维复线性空间, 有一组基
$$
\left\{v_1, v_2, \cdots, v_{2 d+1}\right\} \text {. }
$$

对任一整数 $j\left(0 \leq j \leq \frac{d}{2}\right)$, 记 $U_j$ 是
$$
v_{2 j+1}, v_{2 j+3}, \cdots, v_{2 d-2 j+1}
$$

生成的子空间. 定义线性变换 $f: V \rightarrow V$ 为
$$
f\left(v_i\right)=\frac{(i-1)(2 d+2-i)}{2} v_{i-1}+\frac{1}{2} v_{i+1}, 1 \leq i \leq 2 d+1 .
$$

这里我们约定 $v_0=v_{2 d+2}=0$.
(1) 证明: $f$ 的全部特征值为 $-d,-d+1, \cdots, d$.
(2) 记 $W$ 是从属于特征值 $-d+2 k(0 \leq k \leq d)$ 的 $f$ 的特征子空间的和. 求 $W \cap U_0$ 的维数.
(3) 对任一整数 $j\left(1 \leq j \leq \frac{d}{2}\right)$, 求 $W \cap U_j$ 的维数.