题号:
6275
题型:
解答题
来源:
2023《线性代数》方阵n次方计算方法总结与典型例题求解
设 $A=\left(\begin{array}{cccc}2 & -1 & -2 & 3 \\ -4 & 2 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 6 & -3 & -6 & 9\end{array}\right)$, 求 $A^n(n \geq 1)$.
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答案：
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引子2: 找规律 ，若 $A^2=k A$ ( $k$ 为某常数)，则 $A^n=k^{n-1} A$. 该结论利用归纳法可以直接证明.
引子3：方法 3：找规律 ：当矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以拆成由一个列向量乘以一个行向量时， 此矩阵的特点为每一个行 (列) 向量都是其余行 (列) 向量的倍数，则
$$
A^n=\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^{n-1} A
$$
其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别为拆成的列向量和行向量的元素， $i$ 表示对应位置.
【参考证明】：按题意可设 $A=\left(\begin{array}{cccc}a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n\end{array}\right)$ ， 因\begin{aligned}
& A=\left(\begin{array}{cccc}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right) \\
& =\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T \\
& \text { 所以 } \boldsymbol{A}^n=\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T\right)^n=\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T\right)\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T\right) \cdots\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T\right) \\
& =\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T \cdots \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^T=\alpha \underbrace{\left(\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}\right)\left(\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}\right) \cdots\left(\boldsymbol{\beta}^T \boldsymbol{\alpha}\right)}_{n-1 \uparrow} \boldsymbol{\beta}^T \\
& =\underbrace{\left(\boldsymbol{\beta}^T \alpha\right)\left(\boldsymbol{\beta}^T \alpha\right) \cdots\left(\boldsymbol{\beta}^T \alpha\right)}_{n-1 \uparrow} \alpha \boldsymbol{\beta}^T=\left(\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)\right)^{n-1} \boldsymbol{A} \\
& =\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^{n-1} A \\
&
\end{aligned}
【参考解答】：按方法 2，当然可以先尝试着计算 $A^2$ ，可得:
$$
\begin{aligned}
& A^2=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{cccc}
26 & -9 & -26 & 39 \\
-52 & 26 & 52 & -78 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
78 & -39 & -78 & 117
\end{array}\right)=13\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right) \\
& =13 A
\end{aligned}
$$
表明方法 2 中的 $k=13$ ，即
$$
A^n=13^{n-1} A=13^{n-1}\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right) .
$$
但是如果观察
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
0 \\
3
\end{array}\right)(2,-1,-2,3)=\alpha \beta^T
$$
那么这题利用方法 3 的结论，可知:
$$
A^n=\left((2,-1,-2,3)\left(\begin{array}{c}
1 \\
-2 \\
0 \\
3
\end{array}\right)\right)^{n-1} A=13^{n-1}\left(\begin{array}{cccc}
2 & -1 & -2 & 3 \\
-4 & 2 & 4 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & -3 & -6 & 9
\end{array}\right)
$$
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