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数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 20 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

\cos (α + β) = m, \tan α \tan β = 2

, 则

\cos (α - β) = ()

A.

- 3 m

B.

- \frac{m}{3}

C.

\frac{m}{3}

D.

3 m

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2. 当

x \in [0, 2 π]

时, 曲线

y = \sin x

与

y = 2 \sin (3 x - \frac{π}{6})

的交点个数为

A.

B.

C.

D.

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3. 已知

\cos α \cos β = \frac{2}{5}, \cos (α - β) = \frac{3}{5}

, 则

\cos (α + β) =

A.

\frac{1}{5}

B.

\frac{1}{3}

C.

\frac{4}{5}

D.

\frac{2}{3}

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4. 在

△ A B C

中, 角

A, B, C

所对的边分别为

a, b, c

, 若

C = \frac{π}{3}, b + b \cos A = a \cos B

, 则

B

的大小为

A.

\frac{π}{6}

B.

\frac{π}{3}

C.

\frac{π}{9}

D.

\frac{2 π}{9}

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5. 若

\sin (π - α) = \frac{4}{5}, α

为第二象限角, 则

\sin 2 α =

A.

- \frac{7}{25}

B.

- \frac{24}{25}

C.

\frac{7}{25}

D.

\frac{24}{25}

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6. 方程

\sin 2 x = \sin x

在区间

(0, 2 π)

内的解的个数是

A.

B.

C.

D.

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7. 已知如图是函数

y = 2 \sin (ω_{x} + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})

的图象, 那么

A.

ω = \frac{10}{11}, ϕ = \frac{π}{6}

B.

ω = \frac{10}{11}, ϕ = - \frac{π}{6}

C.

ω = 2, ϕ = \frac{π}{6}

D.

ω = 2, ϕ = - \frac{π}{6}

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8. 函数

y = \sin (2 x + \frac{5 π}{2})

的图像的一条对称轴的方程是

A.

x = - \frac{π}{2}

B.

x = - \frac{π}{4}

C.

x = \frac{π}{8}

D.

x = \frac{5 π}{4}

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9. 如果函数

y = \sin (ω_{x}) \cos (ω_{x})

的最小正周期是

4 π

, 那么常数

ω

为

A.

B.

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

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10. 方程

\sin 4 x \cos 5 x = - \cos 4 x \sin 5 x

的一个解是

A.

10^{\circ}

B.

20^{\circ}

C.

50^{\circ}

D.

70^{\circ}

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11. 函数

f (x) = \sin x + \cos x

的最小正周期是

A.

2 π

B.

2 \sqrt{2} π

C.

π

D.

\frac{π}{4}

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12.

\sin 20^{\circ} \cos 70^{\circ} + \sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ}

的值是

A.

\frac{1}{4}

B.

\frac{\sqrt{3}}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{4}

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13. 在下列函数中, 以

\frac{π}{2}

为周期的函数是

A.

y = \sin 2 x + \cos 4 x

B.

y = \sin 2 x \cos 4 x

C.

y = \sin 2 x + \cos 2 x

D.

y = \sin 2 x \cos 2 x

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14. 当

- \frac{π}{2} \leq x \leq \frac{π}{2}

时,函数

f (x) = \sin x + \sqrt{3} \cos x

的

A.

最大值是 1 , 最小值是 -1

B.

最大值是 1 , 最小值是

- \frac{1}{2}

C.

最大值是 2 , 最小值是 -2

D.

最大值是 2 , 最小值是 -1

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15. 函数

y = tg (\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} π)

在一个周期内的图像是

A.

B.

C.

D.

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16. 函数

y = \sin (\frac{π}{3} - 2 x) + \cos 2 x

的最小正周期是

A.

\frac{π}{2}

B.

π

C.

2 π

D.

4 π

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17. 函数

f (x) = M \sin (ω x + ϱ) (ω > 0)

在区间

[a, b]

上是增函数，且

f (a) = - M, f (b)

= M

，则函数

g (x) = M \cos (ω x + ϱ)

在

[a, b]

上

A.

是增函数

B.

是減函数

C.

可以取得最大值

M

D.

可以取得最小值

- M

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18. 若

f (x) \sin x

是周期为的奇函数，则

f (x)

可以是

A.

\sin x

B.

\cos x

C.

\sin 2 x

D.

\cos 2 x

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19. 若

\sin a > tg a > ctg a (- π / 2 < a < π / 2)

, 则

a \in

A.

(- π / 2, - π / 4)

B.

(- π / 4, 0)

C.

(0, π / 4)

D.

(π / 4, π / 2)

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20. 在

△ A B C

中, 已知

a = a \cos B + b \cos A = 1, \sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}

, 则

A.

b = 1

B.

b = \sqrt{2}

C.

c = \sqrt{2}

D.

c = \sqrt{3}

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

21. 对于函数

f (x) = \sin 2 x

和

g (x) = \sin (2 x - \frac{π}{4})

, 下列正确的有

A.

f (x)

与

g (x)

有相同的零点

B.

f (x)

与

g (x)

有相同的最大值

C.

f (x)

与

g (x)

有相同的最小正周期

D.

f (x)

与

g (x)

的图像有相同的对称轴

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三、填空题（共 9 题），请把答案直接填写在答题纸上

22. 已知

α

为第一象限角,

β

为第三像限角,

\tan α + \tan β = 4, \tan α \tan β = \sqrt{2} + 1

, 则

\sin (α + β) =

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23. 设

△ A B C

的内角

A, B, C

所对边的长分别是

a, b, c

, 且

A = 2 B, b \neq c, D

为

B C

边上的中点, 且

A D = \sqrt{2} c

, 则

\cos A =

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24. 将函数

f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3})

的图象沿

x

轴向左平移

\frac{π}{6}

个单位长度后得到函数

g (x)

的图象, 则

g (\frac{π}{4})

的值为

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25.

△ A B C

为锐角三角形, 其三个内角

A 、 B 、 C

的对边分别为

a, b, c

, 且

b = 1, C = 2 B

, 则

△ A B C

周长的取值范围为

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26.

\sin 15^{\circ} \sin 75^{\circ}

的值是

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27. 已知

\sin θ + \cos θ = \frac{1}{5}, θ \in (0, π)

, 则

ctg θ

的值是

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28.

tg 20^{\circ} + tg 40^{\circ} + \sqrt{3} tg 20^{\circ} tg 40^{\circ}

的值是

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29.

\frac{\sin 7^{\circ} + \cos 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}{\cos 7^{\circ} - \sin 15^{\circ} \sin 8^{\circ}}

的值为

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30. 关于函数

f (x) = 4 \sin (2 x + \frac{π}{3}) (x \in R)

，有下列命题：
(1) 由

f (x_{1}) = f (x_{2}) = 0

可得

x_{1} - x_{2}

必是

π

的整数倍;
(2)

y = f (x)

的表达式可改写为

y = 4 \cos (2 x - \frac{π}{6})

；
(3)

y = f (x)

的图象关于点

(- \frac{π}{6}, 0)

对称;
(4)

y = f (x)

的图象关于直线

x = - \frac{π}{6}

对称。
其中正确的命题的序号是_。(注: 把你认为正确的命题的序号都填上。)

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四、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

31. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

\sin C = \sqrt{2} \cos B, a^{2} + b^{2} - c^{2} = \sqrt{2} a b

（1）求

B

;
（2）若

△ A B C

的面积

3 + \sqrt{3}

, 求

c

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32. 记

△ A B C

的内角

A, B, C

的对边分别为

a, b, c

, 已知

\sin A + \sqrt{3} \cos A = 2

.
(1) 求

A

.
(2) 若

a = 2, \sqrt{2} b \sin C = c \sin 2 B

, 求

△ A B C

的周长.

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33. 已知

\sin a + \sin β = \frac{1}{4}, \cos a + \cos β = \frac{1}{3}

, 求

\tan (a + β)

的值.

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34. 已知

\frac{π}{2} < β < α < \frac{3 π}{4}, \cos (α - β) = \frac{12}{13}, \sin (α + β) = - \frac{3}{5}

. 求

\sin 2 a

的值.

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35. 已知函数

f (x) = tg x, x \in (0, \frac{π}{2})

. 若

x_{1}, x_{2} \in (0, \frac{π}{2})

, 且

x_{1} \neq x_{2}

, 证明

\frac{1}{2} [f (x_{1}) + f (x_{2})] > f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})

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36. 求函数

y = \frac{\sin 3 x \sin^{3} x + \cos 3 x \cos^{3} x}{\cos^{2} 2 x} + \sin 2 x

的最小值.

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37. 求

\sin^{2} 20^{\circ} + \cos^{2} 50^{\circ} + \sin 20^{\circ} \cos 50^{\circ}

的值.

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38. 已知

△ A B C

的三个内角

A, B, C

满足:

A + C = 2 B, \frac{1}{\cos A} + \frac{1}{\cos C} = - \frac{\sqrt{2}}{\cos B}

, 求

\cos \frac{A - C}{2}

的值.

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39. 在

△ ABC

中,

a, b, c

分别是角

A, B, a

的对边, 设

a + c = 2 b, A - C = \frac{π}{3}

,求

\sin B

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