一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $\alpha 、 \beta$ 是两个平面, $m 、 n$ 是两条直线, $\alpha \cap \beta=m$. 下列四个命题:
(1)若 $m \| n$, 则 $n \| \alpha$ 或 $n \| \beta$
(2) 若 $m \perp n$, 则 $n \perp \alpha, n \perp \beta$
(3)若 $n \| \alpha$, 且 $n \| \beta$, 则 $m \| n$
(4)若 $n$ 与 $\alpha$ 和 $\beta$ 所成的角相等, 则 $m \perp n$
其中, 所有真命题的编号是
$\text{A.}$ (1)(3)
$\text{B.}$ (2)(3)
$\text{C.}$ (1)(2)(3)
$\text{D.}$ (1)(3)(4)
极坐标方程 $4 \sin \theta=5 \rho$ 表示的曲线是
$\text{A.}$ 圆
$\text{B.}$ 椭圆
$\text{C.}$ 双曲线的一支
$\text{D.}$ 抛物线
如果三棱锥 $S-A B C$ 的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点 $S$ 在底面的射影 O 在 $\triangle A B C$ 内, 那么 O 是 $\triangle A B C$ 的
$\text{A.}$ 垂心
$\text{B.}$ 重心
$\text{C.}$ 外心
$\text{D.}$ 内心
如果圆锥曲线的极坐标方程为 $\rho=\frac{16}{5-3 \cos \theta}$, 那么它的焦点的极坐标为
$\text{A.}$ $(0,0),(6, \pi)$
$\text{B.}$ $(-3,0),(3,0)$
$\text{C.}$ $(0,0),(3,0)$
$\text{D.}$ $(0,0),(6,0)$
圆 $x^2+2 x+y^2+4 y-3=0$ 上到直线 $x+y+1=0$ 的距离为 $\sqrt{2}$ 的点共有
$\text{A.}$ 1 个
$\text{B.}$ 2 个
$\text{C.}$ 3 个
$\text{D.}$ 4 个
极坐标方程分别是 $\rho=\cos \theta$ 和 $\rho=\sin \theta$ 的两个圆的圆心距是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
圆心在抛物线 ${y}^2=2 {x}$ 上, 且与 $x$ 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
$\text{A.}$ $ x^2+y^2-x-2 y-\frac{1}{4}=0$
$\text{B.}$ $x^2+y^2+x-2y+1=0$
$\text{C.}$ $x^2+y^2-x-2y+1=0$
$\text{D.}$ $ x^2+y^2-x-2 y+\frac{1}{4}=0$
一动圆与两圆 $x^2+y^2=1$ 和 $x^2+y^2-8 x+12=0$ 都外切, 则动圆圆心轨迹为
$\text{A.}$ 圆
$\text{B.}$ 椭圆
$\text{C.}$ 双曲线的一支
$\text{D.}$ 拋物线
极坐标方程 $\rho=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\theta\right)$ 所表示的曲线是
$\text{A.}$ 双曲线
$\text{B.}$ 椭圆
$\text{C.}$ 抛物线
$\text{D.}$ 圆
对于直线 $m 、 n$ 和平面 $a 、 \beta, a \perp \beta$ 的一个充分条件是
$\text{A.}$ $m \perp n, m / / a, n / / \beta$
$\text{B.}$ $m \perp n, \quad a \cap \beta=m, \quad n \subset a$
$\text{C.}$ $m / / n, n \perp \beta$, $m \subset a$
$\text{D.}$ $m / / n, m \perp a, n \perp \beta$
如果直线 $l, m$ 与平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 满足: $l=\beta \mathrm{I} \gamma, l / / \alpha, m \subset \alpha$ 和 $m \perp \gamma$, 那么必有
$\text{A.}$ $\alpha \perp \gamma$ 且 $l \perp m$
$\text{B.}$ $\alpha \perp \gamma$ 且 $m / / \beta$
$\text{C.}$ $m / / \beta$ 且 $l \perp m$
$\text{D.}$ $\alpha / / \beta$ 且 $\alpha \perp \gamma$
已知三棱锥 $D-A B C$ 的三个侧面与底面全等, 且 $A B=A C=\sqrt{3}, B C=2$, 则以 $B C$ 为棱, 以面 $B C D$ 与面 $B C A$ 为面的二面角的大小是
$\text{A.}$ $\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\arccos \frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2 \pi}{3}$
曲线的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=1-\frac{1}{t} \\ y=1-t^2\end{array}\right.$ ( $t$ 是参数, $\left.t \neq 0\right)$, 它的普通方程是
$\text{A.}$ $(x-1)^2(y-1)=1$
$\text{B.}$ $y=\frac{x(x-2)}{(1-x)^2}$
$\text{C.}$ $y=\frac{1}{(1-x)^2}-1$
$\text{D.}$ $y=\frac{x}{1-x^2}+1$
曲线的极坐标方程 $\rho=4 \sin \theta$ 化成直角坐标方程为
$\text{A.}$ $x^2+(y+2)^2=4$
$\text{B.}$ $x^2+(y-2)^2=4$
$\text{C.}$ $(x-2)^2+y^2=4$
$\text{D.}$ $(x+2)^2+y^2=4$
直线 $\sqrt{3} x+y^2=0$ 截圆 $x^2+y^2=4$ 得的劣弧所对的圆心角为
$\text{A.}$ $\pi / 6$
$\text{B.}$ $\pi / 4$
$\text{C.}$ $\pi / 3$
$\text{D.}$ $\pi / 2$
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
抛物线 $C: y^2=4 x$ 的准线为 $l, P$ 为 $C$ 上动点, 过 $P$ 作 $\odot A: x^2+(y-4)^2=1$ 的一条切线, $Q$ 为切点, 过点 $P$ 作 $l$ 的垂线, 垂足为 $B$. 则
$\text{A.}$ $l$ 与 $\odot A$ 相切
$\text{B.}$ 当 $P, A, B$ 三点共线时, $|P Q|=\sqrt{15}$
$\text{C.}$ 当 $|P B|=2$ 时, $P A \perp A B$
$\text{D.}$ 满足 $|P A|=|P B|$ 的点 $A$ 有且仅有 2 个
已知圆 $C_1: x^2+y^2=1$, 圆 $C_2:(x-$ $3)^2+(y+4)^2=r^2(r>0), P 、 Q$ 分别是圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 上的点, 则
$\text{A.}$ 若圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 无公共点, 则 $0 < r < 4$
$\text{B.}$ 当 $\mathrm{r}=5$ 时, 两圆公共弦所在直线方程为 $6 x-8 y-1=0$
$\text{C.}$ 当 $r=2$ 时，则 $P Q$ 斜率的最大值为 $-\frac{7}{24}$
$\text{D.}$ 当 $r=3$ 时, 过 $P$ 点作圆 $C_2$ 两条切线, 切点分别为 $A, B$, 则 $\angle A P B$ 不可能等于 $\frac{\pi}{2}$
三、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知正三棱锥 $P-A B C$, 点 $P, A, B, C$ 都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上, 若 $P A, P B, P C$ 两两相互垂直, 则球心到截面 $A B C$ 的距离为
如图, $A B C D$ 是正方形, $E$ 是 $A B$ 的中点, 如将 $\triangle D A E$ 和 $\triangle C B E$ 分别沿虚线 $D E$ 和 $C E$ 折起, 使 $A E$ 与 $B E$ 重合, 记 $A$ 与 $B$ 重合后的点为 $P$, 则面 $P C D$ 与面 $E C D$ 所成的二面角为 ________ 度.
19. 如图, 正方形 $A B C D$ 所在平面与正方形 $A B E F$ 所在平面成 $60^{\circ}$ 的二面角, 则异面直线 $A D$ 与 $B F$ 所成角的余弦值是
已知直线的极坐标方程为 $\rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则极点到该直线的距离是
已知 $m, l$ 是直线, $\alpha 、 \beta$ 是平面, 给出下列命题:
(1)若 $l$ 垂直于 $\alpha$ 内的两条相交直线，则 $1 \perp \alpha$ ；
(2)若 $l$ 平行于 $\alpha$, 则 $l$ 平行于 $\alpha$ 内的所有直线;
(3)若 $m \subset \alpha, l \subset \beta$, 且 $l \perp m$, 则 $\alpha \perp \beta$;
(4)若 $l \subset \beta$, 且 $l \perp \alpha$, 则 $\alpha \perp \beta$;
(5)若 $m \subset \alpha, l \subset \beta$, 且 $\alpha / / \beta$, 则 $m / / l$.
其中正确的命题的序号是
四、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
如图: 四棱椎 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D, P A=A C=2, B C=1, A B=\sqrt{3}$
（1）若 $A D \perp P B$, 证明: $A D / /$ 平面 $P B C$ :
（2）若 $A D \perp D C$, 且二面角 $A-C P-D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$, 求 $A D$
如图, 在以 $A, B, C, D, E, F$ 为顶点的五面体中, 四边形 $A B C D$ 与四边形 $C D E F$ 均为等腰梯形, $A B\|C D, C D\| E F, A B=D E=E F=C F=2, C D=4, A D=B C=\sqrt{10}, A E=2 \sqrt{3}, M$ 为 $C D$的中点.
(1) 证明: $E M \|$ 平面 $B C F$;
(2) 求二面角 $A-E M-B$ 的正弦值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 以坐标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=\rho c$ $\operatorname{os} \theta+1$.
（1）写出 $C$ 的直角坐标方程;
(2) 直线 $l:\left\{\begin{array}{l}x=t \\ y=t+a\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数 $)$, 若 $C$ 与 $l$ 交于 $A 、 B$ 两点, $|A B|=2$, 求 $a$ 的值.
如图, 在直三棱柱 $A B C-A_1 B_1 C_1$ 中, $D$ 是侧棱 $C C_1$ 的中点, $\angle A C B=120^{\circ}, A A_1=\sqrt{3} A C=\sqrt{3} B C$.
(1) 证明: 平面 $A B_1 C_1 \perp$ 平面 $A_1 B D$;
(2) 求锐二面角 $B-A_1 D-B_1$ 的余弦值.
如图, 在三棱锥 $S A B C$ 中, $S A \perp$ 底面 $A B C, A B \perp B C . D E$ 垂直平分 $S C$, 且分别交 $A C 、 S C$ 于 $D$ 、
E. 又 $S A=A B, S B=B C$. 求以 $B D$ 为棱, 以 $B D E$ 与 $B D C$ 为面的二面角的度数.
设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率 $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 已知点 $\mathrm{P}\left(0, \frac{3}{2}\right)$ 到这个椭圆上的点最远距离是 $\sqrt{7}$. 求这个椭圆的方程, 并求椭圆上到点 P 的距离等于 $\sqrt{7}$ 的点的坐标.
已知 $A B C D$ 是边长为 4 的正方形, $E 、 \mathrm{~F}$ 分别是 $A B 、 A D$ 的中点, $G C$ 垂直于 $A B C D$ 所在的平面, 且 $G C=2$. 求点 $B$ 到平面 $E F G$ 的距离.
已知: 两条异面直线 $a 、 b$ 所成的角为 $\theta$, 它们的公垂线段 $A A_1$ 的长度为 $d$. 在直线 $a 、 b$ 上分别取点 $E 、 F$, 设 $A 1 E=m, A F=n$. 求证: $E F=\sqrt{d^2+m^2+n^2 \pm 2 m n \cos \theta}$.
已知: 平面 $a \cap$ 平面 $\beta$ =直线 $a . a, \beta$ 同垂直于平面 $\gamma$, 又同平行于直线 $b$.
求证:
(1) $a \perp \gamma$;
(2) $\mathrm{b} \perp \gamma$.
设圆满足: (1) 截 $y$ 轴所得弦长为 2 ; (2)被 $x$ 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 $3: 1$, 在满足条件 (1)、(2)的所有圆中, 求圆心到直线 $1: x-2 y=0$ 的距离最小的圆的方程.
已知斜三棱柱 $A B C A_1 B_1 C_1$ 的侧面 $A_1 A C C_1$ 与底面 $A B C$ 垂直, $\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, B C=2, A C=2 \sqrt{3}$, 且 $\mathrm{AA}_1 \perp \mathrm{A}_1 \mathrm{C}, \mathrm{AA}_1=\mathrm{A}_1 \mathrm{C} 。$
(I) 求侧棱 $\mathrm{A}_1 \mathrm{~A}$ 与底面 $A B C$ 所成角的大小;
(II) 求侧面 $A_1 A B B_1$ 与底面 $A B C$ 所成二面角的大小;
(III) 求顶点 $C$ 到侧面 $A_1 A B B_1$ 的距离。
设曲线 $C$ 的方程是 ${y}={x}^3-{x}$, 将 $C$ 沿 x 轴、 $y$ 轴正向分别平行移动 t s 单位长度后得曲线 $C_1$ 。
( I ) 写出曲线 $C_1$ 的方程;
(II) 证明曲线 $C$ 与 $C_1$ 关于点 $A\left(\frac{t}{2}, \frac{s}{2}\right)$ 对称;
(III) 如果曲线 $C$ 与 $C_1$ 有且仅有一个公共点, 证明 $s=\frac{t^3}{4}-t$ 且 ${t} \neq 0$ 。