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试卷3

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 15 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

α 、 β

是两个平面,

m 、 n

是两条直线,

α \cap β = m

. 下列四个命题:
(1)若

m ∥ n

, 则

n ∥ α

或

n ∥ β

(2) 若

m ⊥ n

, 则

n ⊥ α, n ⊥ β

(3)若

n ∥ α

, 且

n ∥ β

, 则

m ∥ n

(4)若

n

与

α

和

β

所成的角相等, 则

m ⊥ n

其中, 所有真命题的编号是

A.

(1)(3)

B.

(2)(3)

C.

(1)(2)(3)

D.

(1)(3)(4)

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2. 极坐标方程

4 \sin θ = 5 ρ

表示的曲线是

A.

圆

B.

椭圆

C.

双曲线的一支

D.

抛物线

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3. 如果三棱锥

S - A B C

的底面是不等边三角形, 侧面与底面所成的二面角都相等, 且顶点

S

在底面的射影 O 在

△ A B C

内, 那么 O 是

△ A B C

的

A.

垂心

B.

重心

C.

外心

D.

内心

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4. 如果圆锥曲线的极坐标方程为

ρ = \frac{16}{5 - 3 \cos θ}

, 那么它的焦点的极坐标为

A.

(0, 0), (6, π)

B.

(- 3, 0), (3, 0)

C.

(0, 0), (3, 0)

D.

(0, 0), (6, 0)

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5. 圆

x^{2} + 2 x + y^{2} + 4 y - 3 = 0

上到直线

x + y + 1 = 0

的距离为

\sqrt{2}

的点共有

A.

1 个

B.

2 个

C.

3 个

D.

4 个

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6. 极坐标方程分别是

ρ = \cos θ

和

ρ = \sin θ

的两个圆的圆心距是

A.

B.

\sqrt{2}

C.

D.

\frac{\sqrt{2}}{2}

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7. 圆心在抛物线

y^{2} = 2 x

上, 且与

x

轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是

A.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y - \frac{1}{4} = 0

B.

x^{2} + y^{2} + x - 2 y + 1 = 0

C.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y + 1 = 0

D.

x^{2} + y^{2} - x - 2 y + \frac{1}{4} = 0

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8. 一动圆与两圆

x^{2} + y^{2} = 1

和

x^{2} + y^{2} - 8 x + 12 = 0

都外切, 则动圆圆心轨迹为

A.

圆

B.

椭圆

C.

双曲线的一支

D.

拋物线

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9. 极坐标方程

ρ = \cos (\frac{π}{4} - θ)

所表示的曲线是

A.

双曲线

B.

椭圆

C.

抛物线

D.

圆

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10. 对于直线

m 、 n

和平面

a 、 β, a ⊥ β

的一个充分条件是

A.

m ⊥ n, m / / a, n / / β

B.

m ⊥ n, a \cap β = m, n \subset a

C.

m / / n, n ⊥ β

m \subset a

D.

m / / n, m ⊥ a, n ⊥ β

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11. 如果直线

l, m

与平面

α, β, γ

满足:

l = β I γ, l / / α, m \subset α

和

m ⊥ γ

, 那么必有

A.

α ⊥ γ

且

l ⊥ m

B.

α ⊥ γ

且

m / / β

C.

m / / β

且

l ⊥ m

D.

α / / β

且

α ⊥ γ

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12. 已知三棱锥

D - A B C

的三个侧面与底面全等, 且

A B = A C = \sqrt{3}, B C = 2

, 则以

B C

为棱, 以面

B C D

与面

B C A

为面的二面角的大小是

A.

\arccos \frac{\sqrt{3}}{3}

B.

\arccos \frac{1}{3}

C.

\frac{π}{2}

D.

\frac{2 π}{3}

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13. 曲线的参数方程是

{\begin{cases} x = 1 - \frac{1}{t} \\ y = 1 - t^{2} \end{cases}

(

t

是参数,

t \neq 0)

, 它的普通方程是

A.

(x - 1)^{2} (y - 1) = 1

B.

y = \frac{x (x - 2)}{(1 - x)^{2}}

C.

y = \frac{1}{(1 - x)^{2}} - 1

D.

y = \frac{x}{1 - x^{2}} + 1

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14. 曲线的极坐标方程

ρ = 4 \sin θ

化成直角坐标方程为

A.

x^{2} + (y + 2)^{2} = 4

B.

x^{2} + (y - 2)^{2} = 4

C.

(x - 2)^{2} + y^{2} = 4

D.

(x + 2)^{2} + y^{2} = 4

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15. 直线

\sqrt{3} x + y^{2} = 0

截圆

x^{2} + y^{2} = 4

得的劣弧所对的圆心角为

A.

π / 6

B.

π / 4

C.

π / 3

D.

π / 2

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二、多选题（共 2 题），每题有多个选项正确

16. 抛物线

C : y^{2} = 4 x

的准线为

l, P

为

C

上动点, 过

P

作

⊙ A : x^{2} + (y - 4)^{2} = 1

的一条切线,

Q

为切点, 过点

P

作

l

的垂线, 垂足为

B

. 则

A.

l

与

⊙ A

相切

B.

当

P, A, B

三点共线时,

| P Q | = \sqrt{15}

C.

当

| P B | = 2

时,

P A ⊥ A B

D.

满足

| P A | = | P B |

的点

A

有且仅有 2 个

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17. 已知圆

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1

, 圆

C_{2} : (x -

3)^{2} + (y + 4)^{2} = r^{2} (r > 0), P 、 Q

分别是圆

C_{1}

与圆

C_{2}

上的点, 则

A.

若圆

C_{1}

与圆

C_{2}

无公共点, 则

0 < r < 4

B.

当

r = 5

时, 两圆公共弦所在直线方程为

6 x - 8 y - 1 = 0

C.

当

r = 2

时，则

P Q

斜率的最大值为

- \frac{7}{24}

D.

当

r = 3

时, 过

P

点作圆

C_{2}

两条切线, 切点分别为

A, B

, 则

∠ A P B

不可能等于

\frac{π}{2}

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三、填空题（共 5 题），请把答案直接填写在答题纸上

18. 已知正三棱锥

P - A B C

, 点

P, A, B, C

都在半径为

\sqrt{3}

的球面上, 若

P A, P B, P C

两两相互垂直, 则球心到截面

A B C

的距离为

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19. 如图,

A B C D

是正方形,

E

是

A B

的中点, 如将

△ D A E

和

△ C B E

分别沿虚线

D E

和

C E

折起, 使

A E

与

B E

重合, 记

A

与

B

重合后的点为

P

, 则面

P C D

与面

E C D

所成的二面角为 ________ 度.

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20. 19. 如图, 正方形

A B C D

所在平面与正方形

A B E F

所在平面成

60^{\circ}

的二面角, 则异面直线

A D

与

B F

所成角的余弦值是

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21. 已知直线的极坐标方程为

ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

, 则极点到该直线的距离是

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22. 已知

m, l

是直线,

α 、 β

是平面, 给出下列命题:
(1)若

l

垂直于

α

内的两条相交直线，则

1 ⊥ α

；
(2)若

l

平行于

α

, 则

l

平行于

α

内的所有直线;
(3)若

m \subset α, l \subset β

, 且

l ⊥ m

, 则

α ⊥ β

;
(4)若

l \subset β

, 且

l ⊥ α

, 则

α ⊥ β

;
(5)若

m \subset α, l \subset β

, 且

α / / β

, 则

m / / l

.
其中正确的命题的序号是

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四、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

23. 如图: 四棱椎

P - A B C D

中,

P A ⊥

底面

A B C D, P A = A C = 2, B C = 1, A B = \sqrt{3}

（1）若

A D ⊥ P B

, 证明:

A D / /

平面

P B C

:
（2）若

A D ⊥ D C

, 且二面角

A - C P - D

的正弦值为

\frac{\sqrt{42}}{7}

, 求

A D

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24. 如图, 在以

A, B, C, D, E, F

为顶点的五面体中, 四边形

A B C D

与四边形

C D E F

均为等腰梯形,

A B ∥ C D, C D ∥ E F, A B = D E = E F = C F = 2, C D = 4, A D = B C = \sqrt{10}, A E = 2 \sqrt{3}, M

为

C D

的中点.
(1) 证明:

E M ∥

平面

B C F

;
(2) 求二面角

A - E M - B

的正弦值.

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25. 在平面直角坐标系

x O y

中, 以坐标原点

O

为极点,

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线

C

的极坐标方程为

ρ = ρ c

os θ + 1

.
（1）写出

C

的直角坐标方程;
(2) 直线

l : {\begin{cases} x = t \\ y = t + a \end{cases}

(

t

为参数

)

, 若

C

与

l

交于

A 、 B

两点,

| A B | = 2

, 求

a

的值.

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26. 如图, 在直三棱柱

A B C - A_{1} B_{1} C_{1}

中,

D

是侧棱

C C_{1}

的中点,

∠ A C B = 120^{\circ}, A A_{1} = \sqrt{3} A C = \sqrt{3} B C

(1) 证明: 平面

A B_{1} C_{1} ⊥

平面

A_{1} B D

;
(2) 求锐二面角

B - A_{1} D - B_{1}

的余弦值.

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27. 如图, 在三棱锥

S A B C

中,

S A ⊥

底面

A B C, A B ⊥ B C . D E

垂直平分

S C

, 且分别交

A C 、 S C

于

D

、
E. 又

S A = A B, S B = B C

. 求以

B D

为棱, 以

B D E

与

B D C

为面的二面角的度数.

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28. 设椭圆的中心是坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率

e = \frac{\sqrt{3}}{2}

, 已知点

P (0, \frac{3}{2})

到这个椭圆上的点最远距离是

\sqrt{7}

. 求这个椭圆的方程, 并求椭圆上到点 P 的距离等于

\sqrt{7}

的点的坐标.

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29. 已知

A B C D

是边长为 4 的正方形,

E 、 F

分别是

A B 、 A D

的中点,

G C

垂直于

A B C D

所在的平面, 且

G C = 2

. 求点

B

到平面

E F G

的距离.

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30. 已知: 两条异面直线

a 、 b

所成的角为

θ

, 它们的公垂线段

A A_{1}

的长度为

d

. 在直线

a 、 b

上分别取点

E 、 F

, 设

A 1 E = m, A F = n

. 求证:

E F = \sqrt{d^{2} + m^{2} + n^{2} \pm 2 m n \cos θ}

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31. 已知: 平面

a \cap

平面

β

=直线

a . a, β

同垂直于平面

γ

, 又同平行于直线

b

.

求证:
(1)

a ⊥ γ

;
(2)

b ⊥ γ

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32. 设圆满足: (1) 截

y

轴所得弦长为 2 ; (2)被

x

轴分成两段圆弧, 其弧长的比为

3 : 1

, 在满足条件 (1)、(2)的所有圆中, 求圆心到直线

1 : x - 2 y = 0

的距离最小的圆的方程.

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33. 已知斜三棱柱

A B C A_{1} B_{1} C_{1}

的侧面

A_{1} A C C_{1}

与底面

A B C

垂直,

∠ ABC = 90^{\circ}, B C = 2, A C = 2 \sqrt{3}

, 且

{AA}_{1} ⊥ A_{1} C, {AA}_{1} = A_{1} C 。

(I) 求侧棱

A_{1} A

与底面

A B C

所成角的大小;
(II) 求侧面

A_{1} A B B_{1}

与底面

A B C

所成二面角的大小;
(III) 求顶点

C

到侧面

A_{1} A B B_{1}

的距离。

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34. 设曲线

C

的方程是

y = x^{3} - x

, 将

C

沿 x 轴、

y

轴正向分别平行移动 t s 单位长度后得曲线

C_{1}

。
( I ) 写出曲线

C_{1}

的方程;
(II) 证明曲线

C

与

C_{1}

关于点

A (\frac{t}{2}, \frac{s}{2})

对称;
(III) 如果曲线

C

与

C_{1}

有且仅有一个公共点, 证明

s = \frac{t^{3}}{4} - t

且

t \neq 0

。

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