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试卷1

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 27 题），每题只有一个选项正确

1. 若

\frac{z}{z - 1} = i + 1

, 则

z =

A.

- 1 - i

B.

- 1 + i

C.

1 - i

D.

1 + i

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2. 已知向量

\vec{a} = (0, 1), \vec{b} = (2, x)

若

\vec{b} ⊥ (\vec{b} - 4 \vec{a})

, 则

x =

A.

-2

B.

-1

C.

D.

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3. 已知向量

a, b

满足

| a | = 1, | a + 2 b | = 2

, 且

(b - 2 a) ⊥ b

. 则

| b | =

A.

\frac{1}{2}

B.

\frac{\sqrt{2}}{2}

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

1

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4. 若复数

z

满足

(2 + i) z = | 1 + 2 i |

, 则

z

的虚部为

A.

- \frac{\sqrt{5}}{5} i

B.

- \frac{2 \sqrt{5}}{5}

C.

- \frac{2 \sqrt{5}}{5} i

D.

- \frac{\sqrt{5}}{5}

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5. 已知四边形

ABCD

满足

\vec{A D} = \frac{1}{4} \vec{B C}

, 点

M

满足

\vec{D M} = \vec{M C}

, 若

\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A D}

, 则

x y =

A.

B.

- \frac{5}{2}

C.

D.

- \frac{1}{2}

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6. 设

z = 5 + i

, 则

i (\bar{z} + z) =

A.

10 i

B.

2 i

C.

10

D.

- 2

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7. 已知

\frac{\cos α}{\cos α - \sin α} = \sqrt{3}

, 则

\tan (α + \frac{π}{4}) =

A.

2 \sqrt{3} + 1

B.

2 \sqrt{3} - 1

C.

\frac{\sqrt{3}}{2}

D.

1 - \sqrt{3}

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8. 已知向量

\vec{a} = (x + 1, x), \vec{b} = (x, 2)

, 则

A.

“

\vec{a} ⊥ \vec{b}

”的必要条件是“

x = - 3

”

B.

“

\vec{a} ∥ \vec{b}

”的必要条件是“

x = - 3

”

C.

“

\vec{a} ⊥ \vec{b}

”的充分条件是“

x = 0

”

D.

“

\vec{a} ∥ \vec{b}

”的充分条件是“

x = - 1 + \sqrt{3}

”

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9. 在

△ A B C

中, 内角

A, B, C

所对边分别为

a, b, c

,若

B = \frac{π}{3}, b^{2} = \frac{9}{4} a c

, 则

\sin A + \sin C =

A.

\frac{3}{2}

B.

\sqrt{2}

C.

\frac{\sqrt{7}}{2}

D.

\frac{\sqrt{3}}{2}

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10. 已知向量

\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (3, x)

, 若

\vec{a} ⊥ \vec{b}

, 则

x

等于

A.

B.

C.

-1

D.

-3

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11. 已知复数

z_{1} = 2 - i, z_{2} = a + i (a \in R)

, 若复数

z_{1} \cdot z_{2}

为纯虚数, 则实数

a

的值为

A.

- \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{2}

C.

-2

D.

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12. 复数

z = \frac{3 + 4 i}{2 - i}

(其中 i 为虚数单位) 的共轭复数

\bar{z}

在复平面内对应的点在

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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13. 已知向量

\vec{a}, \vec{b}

, 满足

| \vec{a} | = 2, (4 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b} = 4

, 则

| 2 \vec{a} + \vec{b} | =

A.

2 \sqrt{5}

B.

2 \sqrt{3}

C.

D.

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14. 把复数

1 + i

对应的向量按顺时针方向旋转

\frac{2 π}{3}

所得到的向量对应的复数是

A.

\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} i

B.

\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} i

C.

\frac{- 1 + \sqrt{3}}{2} + \frac{1 - \sqrt{3}}{2} i

D.

\frac{1 - \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 - \sqrt{3}}{2} i

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15. 设函数

y = arctg x

的图象沿 x 轴正方向平移 2 个单位所得到的图象为 C . 又设图象

C^{'}

与

C

关于原点对称, 那么

C^{'}

所对应的函数是

A.

y = - a r c t g (x - 2)

B.

y = a r c t g (x - 2)

C.

y = - a r c t g (x + 2)

D.

y = a r c t g (x + 2)

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16. 已知复数

z

的模为 2 , 则

| z - i |

的最大值为

A.

B.

C.

\sqrt{5}

D.

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17. 函数

y = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

的反函数

A.

是奇函数,在

(0, + \infty)

上是减函数

B.

是偶函数,在

(0, + \infty)

上是减函数

C.

是奇函数,在

(0, + \infty)

上是增函数

D.

是偶函数,在

(0, + \infty)

上是增函数

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18. 已知

a_{1}, a_{2}, \dots, a_{8}

为各项都大于零的等比数列, 公式

q \neq 1

, 则

A.

a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}

B.

a_{1} + a_{8} < a_{4} + a_{5}

C.

a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}

D.

a_{1} + a_{8}

和

a_{4} + a_{5}

的大小关系不能由已知条件确定

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19. 如果复数

z

满足

| z + i | + | z - i | = 2

, 那么

| z + i + 1 |

的最小值是

A.

B.

\sqrt{2}

C.

D.

\sqrt{5}

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20. 函数

y = \arccos (\sin x) (- \frac{π}{3} < x < \frac{2 π}{3})

的值域是

A.

(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})

B.

[0, \frac{5 π}{6})

C.

(\frac{π}{3}, \frac{2 π}{3})

D.

[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3})

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21. 复数

\frac{(2 + 2 i)^{4}}{(1 - \sqrt{3} i)^{5}}

等于

A.

1 + \sqrt{3} i

B.

- 1 + \sqrt{3} i

C.

1 - \sqrt{3} i

D.

- 1 - \sqrt{3} i

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22. 等差数列

{a_{n}}

的前

m

项和为 30 , 前

2 m

项和为 100 , 则它的前

3 m

项和为

A.

130

B.

170

C.

210

D.

260

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23. 满足

\arccos (1 - x) \geq \arccos x

的

x

的取值范围是

A.

[- 1, - \frac{1}{2}]

B.

[- \frac{1}{2}, 0]

C.

[0, \frac{1}{2}]

D.

[\frac{1}{2}, 1]

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24. 函数

y = \cos^{2} x - 3 \cos x + 2

的最小值为

A.

B.

C.

- \frac{1}{4}

D.

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25. 复数

- i

的一个立方根是

i

, 它的另外两个立方根是

A.

\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i

B.

- \frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{1}{2} i

C.

\pm \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i

D.

\pm \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i

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26. 已知

z

是虚数,

z^{2} + 2 z

是实数, 则

z

的

A.

实部为 1

B.

实部为 -1

C.

虚部为 1

D.

虚部为 -1

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27. 已知平行六面体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中,

A A_{1} = 2, B D = 3, \vec{A D_{1}} \cdot \vec{D C} - \vec{A B_{1}} \cdot \vec{B C} = 4

, 则

\cos ⟨ \vec{A A_{1}}, \vec{B D} ⟩ = ()

A.

\frac{2}{3}

B.

- \frac{2}{3}

C.

\frac{3}{4}

D.

- \frac{3}{4}

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

28. 函数

y = \sin x \cos x + \sin x + \cos x

的最大值是

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29. 已知等差数列

{a_{n}}

的公差

d \neq 0

, 且 a1, a3, a9 成等比数列, 则

\frac{a_{1} + a_{3} + a_{9}}{a_{2} + a_{4} + a_{10}}

的值是

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30.

\sin (\arccos \frac{1}{2} + \arccos \frac{1}{3}) =

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三、解答题（共 10 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

31. 设 a 为实数, 在复数集 C 中解方程:

z^{2} + 2 | z | = a

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32. 设

a ⩾ 0

, 在复数集

C

中解方程

z^{2} + 2 | z | = a

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33. 求函数

y = \sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + 3 \cos^{2} x

的最小值，并写出使函数

y

取最小值的

x

的集合.

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34. 已知复数

z = 1 + i

, 求复数

\frac{z^{2} - 3 z + 6}{z + 1}

的模和辐角的主值.

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35. 已知

z \in C

, 解方程

z \overset{―}{z} - 3 i \overset{―}{z} = 1 + 3 i

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36. 设复数

z = \cos θ + i \sin θ (0 < θ < π), ω = \frac{1 - (\bar{z})^{4}}{1 + z^{4}}

, 并且

| ω | = \frac{\sqrt{3}}{3}, \arg ω < \frac{π}{2}

, 求

θ

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37. 已知

z = 1 + i

.
(1) 设

ω = z^{2} + 3 \bar{z} - 4

, 求

ω

的三角形式;
(2) 如果

\frac{z^{2} + a z + b}{z^{2} - z + 1} = 1 - i

, 求实数

a, b

的值.

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38. 在复平面上, 一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为

Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, O

(其中 0 是原点), 已知

Z_{2}

对应复数

Z_{2} = 1 + \sqrt{3} i

. 求

Z_{1}

和

Z_{3}

对应的复数.

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39. 已知复数

z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i, ω = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i

. 复数

\bar{z}, z^{2} ω^{3}

在复数平面上所对应的点分别为

P, Q

. 证明

△ O P Q

是等腰直角三角形 (其中

O

为原点).

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40. 设复数

z = 3 \cos θ + i \cdot 2 \sin θ, y = θ - \arg Z (0 < θ < π / 2)

求函数的最大值以及对应的

θ

值

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