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试卷2

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 19 题），每题只有一个选项正确

1. 已知数列

{a_{n}}

中,

a_{1} = 1

, 若

a_{n + 1} = \frac{(n + 1) a_{n}}{n + 1 + a_{n}}

, 则下列结论中正确的是

A.

\frac{1}{a_{n + 1}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}

B.

\frac{1}{a_{n + 2}} - \frac{1}{a_{n}} < \frac{2}{\sqrt{(n + 2) (n + 1)}}

C.

\frac{1}{a_{2 n}} - \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{2}

D.

a_{n} \cdot \ln (n + 1) > 1

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2. 若实数

x, y

满足约束条件

{\begin{cases} 4 x - 3 y - 3 \geq 0, \\ x - 2 y - 2 \leq 0, \\ 2 x + 6 y - 9 \leq 0, \end{cases}

则

z = x - 5 y

的最小值为

A.

B.

\frac{1}{2}

C.

-2

D.

- \frac{7}{2}

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3. 记

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和. 若

S_{5} = S_{10}, a_{5} = 1

, 则

a_{1} = (

)

A.

-2

B.

\frac{7}{3}

C.

D.

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4. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 则

A.

若

{a_{n}}

为等差数列, 且

S_{9} > S_{8}, S_{9} > S_{10}

, 则

S_{17} > 0, S_{18} < 0

B.

若

{a_{n}}

为等差数列, 且

S_{17} > 0, S_{18} < 0

, 则

a_{17} > 0, a_{18} < 0

C.

若

{a_{n}}

为等比数列, 且

a_{4} > 0

, 则

S_{2024} > 0

D.

若

{a_{n}}

为等比数列, 且

a_{5} > 0

, 则

S_{2023} > 0

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5. 如果直线

y = a x + 2

与直线

y = 3 x - b

关于直线

y = x

对称，那么

A.

a = \frac{1}{3}, b = 6

B.

a = \frac{1}{3}, b = - 6

C.

a = 3, b = - 2

D.

a = 3, b = 6

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6. 若实数

x 、 y

满足

(x + 2)^{2} + y^{2} = 3

, 则

\frac{y}{x}

的最大值为

A.

\sqrt{3}

B.

- \sqrt{3}

C.

\frac{\sqrt{3}}{3}

D.

- \frac{\sqrt{3}}{3}

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7. 已知

{a_{3}}

是等比数列, 且

a_{3} > 0, a_{2} a_{4} + 2 a_{3} a_{5} + a_{4} a_{6} = 25

, 那么

a_{3} + a_{6}

的值等于

A.

B.

C.

D.

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8. 如果

A C < 0

且

B \subset< 0

, 那么直线

A x + B y + C = 0

不通过

A.

第一象限

B.

第二象限

C.

第三象限

D.

第四象限

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lim_{n \to \infty} [n (1 - \frac{1}{3}) (1 - \frac{1}{4}) (1 - \frac{1}{5})] \dots (1 - \frac{1}{n + 2})]

的值等于

A.

B.

C.

D.

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10. 直线

{\begin{cases} x = t \sin 20^{\circ} + 3 \\ y = - t \sin 20^{\circ} \end{cases}

(

t

为参数) 的倾斜角是

A.

20^{\circ}

B.

70^{\circ}

C.

45^{\circ}

D.

135^{\circ}

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11. 已知直线

l_{1}

和

l_{2}

的夹角平分线为

y = x

, 如果

l_{1}

的方程是

a x + b y + c = 0

, 那么直线

l_{2}

的方程为

A.

b x + a y + c = 0

B.

a x - b y + c = 0

C.

b x + a y - c = 0

D.

b x - a y + c = 0

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12. 和直线

3 x - 4 y + 5 = 0

关于

x

轴对称的直线的方程为

A.

3 x + 4 y - 5 = 0

B.

3 x + 4 y + 5 = 0

C.

- 3 x + 4 y - 5 = 0

D.

- 3 x + 4 y + 5 = 0

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13. 若图中的直线

l_{1}, l_{2}, l_{3}

的斜率分别为

k_{1}, k_{2}, k_{3}

, 则

A.

k_{1} < k_{2} < k_{3}

B.

k_{3} < k_{1} < k_{2}

C.

k_{3} < k_{2} < k_{1}

D.

k_{1} < k_{3} < k_{2}

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14. 如果直线

a x + 2 y + 2 = 0

与直线

3 x - y - 2 = 0

平行, 那么系数

a =

A.

-3

B.

-6

C.

- \frac{3}{2}

D.

\frac{2}{3}

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15. 不等式组

{\begin{cases} x > 0 \\ \frac{3 - x}{3 + x} > | \frac{2 - x}{2 + x} | \end{cases}

的解集是

A.

{x ∣ 0 < x < 2}

B.

{x ∣ 0 < x < 2.5}

C.

{x ∣ 0 < x < \sqrt{6}}

D.

{x ∣ 0 < x < 3}

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16. 两条直线

A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0, A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0

垂直的充要条件是

A.

A_{1} A_{2} + B_{1} B_{2} = 0

B.

A_{1} A_{2} - B_{1} B_{2} = 0

C.

\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}} = - 1

D.

\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}} = 1

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17. 在等比数列

{a_{n}}

中,

a_{1} > 1

, 且前

n

项和

S_{n}

满足

lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{a_{1}}

, 那么

a_{1}

的取值范围是

A.

(1, + \infty)

B.

(1, 4)

C.

(1, 2)

D.

(1, \sqrt{2})

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18. 已知数列

{3^{a_{n}}}

是公比为

3^{a_{1}}

的等比数列,

S_{n}

是数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 则

\frac{S_{5}}{a_{5}} = ()

A.

B.

\frac{3}{2}

C.

\frac{5}{2}

D.

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19. 若存在直线与曲线

f (x) = x^{3} - x, g (x) = x^{2} + a

都相切，则

a

的范围为

A.

[- 1, + \infty)

B.

[- 1, \frac{5}{27}]

C.

[\frac{5}{27}, + \infty)

D.

[- \infty, \frac{5}{27}]

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二、多选题（共 1 题），每题有多个选项正确

20. 已知圆

O : x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)

, 斜率为

k

的直线

l

经过圆

O

内不在坐标轴上的一个定点

P

, 且与圆

O

相交于

A 、 B

两点, 下列选项中正确的是

A.

若

r

为定值, 则存在

k

, 使得

O P ⊥ A B

B.

若

k

为定值, 则存在

r

, 使得

O P ⊥ A B

C.

若

r

为定值, 则存在

k

, 使得圆

O

上恰有三个点到

l

的距离均为

| k |

D.

若

k

为定值, 则存在

r

, 使得圆

O

上恰有三个点到

l

的距离均为

\frac{r}{2}

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三、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

21. 记

S_{n}

为等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和, 若

a_{3} + a_{4} = 7, 3 a_{2} + a_{5} = 5

, 则

S_{10} =

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22. 设数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且满足

S_{n} = 2 a_{n} - 1 (n \in N^{*})

.
（1）求数列

{a_{n}}

的通项公式;
（2）解关于

n

的不等式:

a_{1} C_{n}^{0} + a_{2} C_{n}^{1} + a_{3} C_{n}^{2} + \dots + a_{n + 1} C_{n}^{n} < 3

;
（3）若

c_{1} = 1, b_{n} = \frac{1}{2 a_{n}} = c_{n + 1} - c_{n}, d_{n} = \frac{1}{c_{n}} - \frac{1}{c_{n + 1}}

, 求证：数列

{b_{n} d_{n}}

前

n

项和小于

\frac{1}{3}

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23. 已知

a_{n}

是公差不为零的等差数列, 如果

s_{n}

是

a_{n}

的前

n

项的和, 那么

lim_{n \to \infty} \frac{n a_{n}}{s_{n}}

等于

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24. 若正数

a 、 b

满足

a b = a + b + 3

, 则

a b

的取值范围是

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四、解答题（共 16 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

25.

a, b, c > 0, 4 a b c = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}

, 判断

(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})

是否存在最大值和最小值, 若存在, 请求解出最大值和最小值。

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26. 已知数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 且

4 S_{n} = 3 a_{n} + 4

.
(1) 求

{a_{n}}

的通项公式；
（2）设

b_{n} = (- 1)^{n - 1} n a_{n}

, 求数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

T_{n}

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27. 实数

a, b

满足

a + b \geq 3

.
(1) 证明:

2 a^{2} + 2 b^{2} > a + b

；
( 2 ) 证明:

| a - 2 b^{2} | + | b - 2 a^{2} | \geq 6

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28. 已知集合

A = {y ∣ y = 2 x, x \in N^{*}}, B = {y ∣ y = 3^{x}, x \in N^{*}}, A \cup B

中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列

{a_{n}}, S_{n}

为数列

{a_{n}}

的前

n

项的和.
(1) 求

S_{10}

;
(2) 如果

a_{m} = 81, a_{2022} = t

, 求

m

和

t

的值;
（3）如果

n = \frac{3^{k} - 1}{2} + k (k \in N^{*})

, 求

11 S_{n}

(用

k

来表示).

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29. 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 , 求这四个数.

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30. 设

{a_{n}}

是等差数列,

b_{n} = {(\frac{1}{2})}_{n}^{a}

. 已知

b_{1} + b_{2} + b_{3} = \frac{21}{8}, b_{1} b_{2} b_{3} = \frac{1}{8}

. 求等差数列的通项

a_{n}

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31. 设等差数列

{a_{n}}

的前

n

项和为 Sn . 已知

a 3 = 12, S 12 > 0, S 13 < 0

.
（1）求公差 d 的取值范围.
（2）指出

S_{1}, S 2, \dots, S 12

中哪一个值最大, 并说明理由.

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32. 在

△ ABC

中, 已知

B C

边上的高所在直线的方程为

x - 2 y + 1 = 0, ∠ A

的平分线所在直线的方程为

y = 0

. 若点 B 的坐标为

(1, 2)

, 求点 C 的坐标.

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33. 已知数列

\frac{8 \cdot 1}{1^{2} \cdot 3^{2}}, \frac{8 \cdot 2}{3^{2} \cdot 5^{2}}, \dots, \frac{8 n}{(2 n - 1)^{2} (2 n + 1)^{2}}, \dots . S_{n}

为其前 n 项和. 计算得

S_{1} = \frac{8}{9}, S_{2} = \frac{24}{25}, S_{3} = \frac{48}{49}, S_{4} = \frac{80}{81}

. 观察上述结果, 推测出计算

S_{n}

的公式, 并用数学归纳法加以证明.

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34. 设

{a_{n}}

是正数组成的数列, 其前

n

项和为

S_{n}

, 并且对于所有的自然数

n, a_{n}

与 2 的等差中项等于

S_{n}

与 2 的等比中项.
(1) 写出数列

{a_{n}}

的前 3 项;
(2) 求数列

{a_{n}}

的通项公式 (写出推证过程);
(3) 令

b_{n} = \frac{1}{2} (\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}) (n \in N)

, 求

lim_{n \to \infty} (b_{1} + b_{2} + . . . + b_{n} - n)

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35. 设

{a_{n}}

是由正数组成的等比数列,

S_{n}

是其前

n

项和.
(1) 证明

\frac{\lg S_{n} + \lg S_{n + 2}}{2} < \lg S_{n + 1}

；
(2) 是否存在常数

c > 0

, 使得

\frac{\lg (S_{n} - c) + \lg (S_{n + 2} - c)}{2} = \lg (S_{n + 1} - c)

成立? 并证明你的结论.

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36. 设等比数列

{a_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

. 若

S_{3} + S_{6} = 2 S_{9}

, 求数列的公比

q

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37. 已知数列

{a_{n}}, {b_{n}}

都是由正数组成的等比数列, 公比分别为

p 、 q

, 其中

p > q

, 且

p \neq 1

q \neq 1

. 设

c_{n} = a_{n} + b_{n}, S_{n}

为数列

{c_{n}}

的前

n

项和. 求

lim_{n \to \infty} \frac{S_{n}}{S_{n - 1}}

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38. 甲、乙两地相距

S

千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过

c

千米/时.知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度

V

(千米/时) 的平方成正比、比例系数为

b

；固定部分为

a

元。
I. 把全程运输成本

y

(元) 表示为速度

V

(千米/时) 的函数, 并指出这个函数的定义域；
II. 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?

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39. 已知数列

{b_{n}}

是等差数列,

b_{1} = 1, b_{1} + b_{2} + \dots + b_{10} = 145

。
(I) 求数列

{b_{n}}

的通项

b_{n}

;

(II) 设数列

{b_{n}}

的通项

a_{n} = \log_{a} (1 + \frac{1}{b_{n}})

（其中

a > 0

, 且

a \neq 1

），记

S_{n}

是数列

{a_{n}}

的前 n 项和。试比较

S_{n}

与

\frac{1}{3} \log_{a} b_{n + 1}

的大小, 并证明你的结论。

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40. 已知函数

y = f (x)

的图象是自原点出发的一条折线。当

n ⩽ y ⩽ n + 1 (n = 0, 1, 2 \dots

)时，该图象是斜率为

b^{n}

的线段（其中正常数

b \neq 1

），设数列

{x_{n}}

由

f (x_{n}) = n (n = 1, 2, \dots)

定义
(1) 求

x^{1} 、 x^{2}

和

x^{n}

的表达式；
(2) 求

f (x)

的表达式，并写出其定义域：
(3) 证明:

y = f (x)

的图象与

y = x

的图象没有横坐标大于 1 的交点。

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