一、单选题 （共 19 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知数列 $\left\{\mathrm{a}_n\right\}$ 中, $\mathrm{a}_1=1$, 若 $a_{n+1}=\frac{(n+1) a_n}{n+1+a_n}$, 则下列结论中正确的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_n} \geq \frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{a_{n+2}}-\frac{1}{a_n} < \frac{2}{\sqrt{(n+2)(n+1)}}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{a_{2 n}}-\frac{1}{a_n} \geq \frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $a_n \cdot \ln (n+1)>1$
若实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}4 x-3 y-3 \geq 0, \\ x-2 y-2 \leq 0, \\ 2 x+6 y-9 \leq 0,\end{array}\right.$ 则 $z=x-5 y$ 的最小值为
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -2
$\text{D.}$ $-\frac{7}{2}$
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $S_5=S_{10}, a_5=1$, 则 $a_1=($ )
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $\frac{7}{3}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 则
$\text{A.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 且 $S_9>S_8, S_9>S_{10}$, 则 $S_{17}>0, S_{18} < 0$
$\text{B.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$ 为等差数列, 且 $S_{17}>0, S_{18} < 0$, 则 $a_{17}>0, a_{18} < 0$
$\text{C.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, 且 $a_4>0$, 则 $\mathrm{S}_{2024}>0$
$\text{D.}$ 若 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列, 且 $a_5>0$, 则 $\mathrm{S}_{2023}>0$
如果直线 $y=a x+2$ 与直线 $y=3 x-b$ 关于直线 $y=x$ 对称，那么
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=6$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-6$
$\text{C.}$ $a=3, b=-2$
$\text{D.}$ $a=3, b=6$
若实数 $x 、 y$ 满足 $(x+2)^2+y^2=3$, 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\sqrt{3}$
$\text{B.}$ $-\sqrt{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{3}}{3}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
已知 $\left\{a_3\right\}$ 是等比数列, 且 $a_3>0, a_2 a_4+2 a_3 a_5+a_4 a_6=25$, 那么 $a_3+a_6$ 的值等于
$\text{A.}$ 5
$\text{B.}$ 10
$\text{C.}$ 15
$\text{D.}$ 20
如果 $A C < 0$ 且 $B \subset < 0$, 那么直线 $A x+B y+C=0$ 不通过
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
$\left.\lim _{n \rightarrow \infty}\left[n\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\right] \cdots\left(1-\frac{1}{n+2}\right)\right]$ 的值等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
直线 $\left\{\begin{array}{l}x=t \sin 20^{\circ}+3 \\ y=-t \sin 20^{\circ}\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数) 的倾斜角是
$\text{A.}$ $20^{\circ}$
$\text{B.}$ $70^{\circ}$
$\text{C.}$ $45^{\circ}$
$\text{D.}$ $135^{\circ}$
已知直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的夹角平分线为 $y=x$, 如果 $l_1$ 的方程是 $a x+b y+c=0$, 那么直线 $l_2$ 的方程为
$\text{A.}$ $b x+a y+c=0$
$\text{B.}$ $a x-b y+c=0$
$\text{C.}$ $b x+a y-c=0$
$\text{D.}$ $b x-a y+c=0$
和直线 $3 x-4 y+5=0$ 关于 $x$ 轴对称的直线的方程为
$\text{A.}$ $3 x+4 y-5=0$
$\text{B.}$ $3 x+4 y+5=0$
$\text{C.}$ $-3 x+4 y-5=0$
$\text{D.}$ $-3 x+4 y+5=0$
若图中的直线 $l_1, l_2, l_3$ 的斜率分别为 $k_1, k_2, k_3$, 则
$\text{A.}$ $k_1 < k_2 < k_3$
$\text{B.}$ $k_3 < k_1 < k_2$
$\text{C.}$ $k_3 < k_2 < k_1$
$\text{D.}$ $k_1 < k_3 < k_2$
如果直线 $a x+2 y+2=0$ 与直线 $3 x-y-2=0$ 平行, 那么系数 $a=$
$\text{A.}$ -3
$\text{B.}$ -6
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ \frac{3-x}{3+x}>\left|\frac{2-x}{2+x}\right|\end{array}\right.$ 的解集是
$\text{A.}$ $\{x \mid 0 < x < 2\}$
$\text{B.}$ $\{x \mid 0 < x < 2.5\}$
$\text{C.}$ $\{x \mid 0 < x < \sqrt{6}\}$
$\text{D.}$ $\{x \mid 0 < x < 3\}$
两条直线 $A_1 x+B_1 y+C_1=0, A_2 x+B_2 y+C_2=0$ 垂直的充要条件是
$\text{A.}$ $A_1 A_2+B_1 B_2=0$
$\text{B.}$ ${A}_1 {A}_2-{B}_1 {B}_2=0$
$\text{C.}$ $\frac{{A}_1 {~A}_2}{{B}_1 {B}_2}=-1$
$\text{D.}$ $\frac{{A}_1 {A}_2}{{~B}_1 {B}_2}=1$
在等比数列 $\left\{{a}_n\right\}$ 中, ${a}_1>1$, 且前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\frac{1}{a_1}$, 那么 ${a}_1$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $(1,+\infty)$
$\text{B.}$ $(1,4)$
$\text{C.}$ $(1,2)$
$\text{D.}$ $(1, \sqrt{2})$
已知数列 $\left\{3^{a_n}\right\}$ 是公比为 $3^{a_1}$ 的等比数列, $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 则 $\frac{S_5}{a_5}=(\quad)$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{2}$
$\text{D.}$ 3
若存在直线与曲线 $f(x)=x^3-x, g(x)=x^2+a$ 都相切，则 $a$ 的范围为
$\text{A.}$ $[-1,+\infty)$
$\text{B.}$ $\left[-1, \frac{5}{27}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\frac{5}{27},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left[-\infty, \frac{5}{27}\right]$
二、多选题 （共 1 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
已知圆 $O: x^2+y^2=r^2(r>0)$, 斜率为 $k$ 的直线 $l$ 经过圆 $O$ 内不在坐标轴上的一个定点 $P$, 且与圆 $O$相交于 $A 、 B$ 两点, 下列选项中正确的是
$\text{A.}$ 若 $r$ 为定值, 则存在 $k$, 使得 $O P \perp A B$
$\text{B.}$ 若 $k$ 为定值, 则存在 $r$, 使得 $O P \perp A B$
$\text{C.}$ 若 $r$ 为定值, 则存在 $k$, 使得圆 $O$ 上恰有三个点到 $l$ 的距离均为 $|k|$
$\text{D.}$ 若 $k$ 为定值, 则存在 $r$, 使得圆 $O$ 上恰有三个点到 $l$ 的距离均为 $\frac{r}{2}$
三、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
记 $S_n$ 为等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $a_3+a_4=7,3 a_2+a_5=5$, 则 $S_{10}=$
设数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$, 且满足 $S_n=2 a_n-1\left(n \in N^*\right)$.
（1）求数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式;
（2）解关于 $\mathrm{n}$ 的不等式: $a_1 C_n^0+a_2 C_n^1+a_3 C_n^2+\cdots+a_{n+1} C_n^n < 3$;
（3）若 $\mathrm{c}_1=1, b_n=\frac{1}{2 a_n}=c_{n+1}-c_n, d_n=\frac{1}{c_n}-\frac{1}{c_{n+1}}$, 求证：数列 $\left\{b_n d_n\right\}$ 前 $\mathrm{n}$ 项和小于 $\frac{1}{3}$.
已知 $a_n$ 是公差不为零的等差数列, 如果 $s_n$ 是 $a_n$ 的前 $n$ 项的和, 那么$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n a_n}{s_n} $ 等于
若正数 $a 、 b$ 满足 $a b=a+b+3$, 则 $a b$ 的取值范围是
四、解答题 （ 共 16 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$a, b, c>0,4 a b c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$, 判断 $\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$ 是否存在最大值和最小值, 若存在, 请求解出最大值和最小值。
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$, 且 $4 S_n=3 a_n+4$.
(1) 求 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式；
（2）设 $b_n=(-1)^{n-1} n a_n$, 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$.
实数 $a, b$ 满足 $a+b \geq 3$.
(1) 证明: $2 a^2+2 b^2>a+b$ ；
( 2 ) 证明: $\left|a-2 b^2\right|+\left|b-2 a^2\right| \geq 6$.
已知集合 $A=\left\{y \mid y=2 x, x \in N^*\right\}, B=\left\{y \mid y=3^x, x \in N^*\right\}, A \cup B$ 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 $\left\{a_n\right\}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和.
(1) 求 $S_{10}$;
(2) 如果 $a_m=81, a_{2022}=t$, 求 $m$ 和 $t$ 的值;
（3）如果 $n=\frac{3^k-1}{2}+k\left(k \in N^*\right)$, 求 $11 S_n$ (用 $k$ 来表示).
有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 , 求这四个数.
设 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列, $b_n=\left(\frac{1}{2}\right)_n^a$. 已知 $b_1+b_2+b_3=\frac{21}{8}, b_1 b_2 b_3=\frac{1}{8}$. 求等差数列的通项 $a_n$.
设等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 Sn . 已知 $\mathrm{a} 3=12, \mathrm{~S} 12>0, \mathrm{~S} 13 < 0$.
（1）求公差 d 的取值范围.
（2）指出 $\mathrm{S}_1, \mathrm{~S} 2, \cdots, \mathrm{S} 12$ 中哪一个值最大, 并说明理由.
在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 已知 $B C$ 边上的高所在直线的方程为 $\mathrm{x}-2 \mathrm{y}+1=0, \angle \mathrm{A}$ 的平分线所在直线的方程为 $\mathrm{y}=0$. 若点 B 的坐标为 $(1,2)$, 求点 C 的坐标.
已知数列 $\frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2}, \frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2}, \cdots, \frac{8 n}{(2 n-1)^2(2 n+1)^2}, \cdots . S_n$ 为其前 n 项和. 计算得 $S_1=\frac{8}{9}, \quad S_2=\frac{24}{25}, \quad S_3=\frac{48}{49}, \quad S_4=\frac{80}{81}$. 观察上述结果, 推测出计算 $S_n$ 的公式, 并用数学归纳法加以证明.
设 $\left\{a_n\right\}$ 是正数组成的数列, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 并且对于所有的自然数 $n, a_n$ 与 2 的等差中项等于 $S_n$ 与 2 的等比中项.
(1) 写出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 3 项;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 (写出推证过程);
(3) 令 $b_n=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)(n \in \mathbf{N})$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_1+b_2+... +b_n-n\right)$.
设 $\left\{a_n\right\}$ 是由正数组成的等比数列, $S_n$ 是其前 $n$ 项和.
(1) 证明 $\frac{\lg S_n+\lg S_{n+2}}{2} < \lg S_{n+1}$ ；
(2) 是否存在常数 $c>0$, 使得 $\frac{\lg \left(S_n-c\right)+\lg \left(S_{n+2}-c\right)}{2}=\lg \left(S_{n+1}-c\right)$ 成立? 并证明你的结论.
设等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$. 若 $S_3+S_6=2 S_9$, 求数列的公比 $q$.
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 都是由正数组成的等比数列, 公比分别为 $p 、 q$, 其中 $p>q$, 且 $p \neq 1$, $q \neq 1$. 设 $c_n=a_n+b_n, S_n$ 为数列 $\left\{c_n\right\}$ 的前 $n$ 项和. 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{S_n}{S_{n-1}}$.
甲、乙两地相距 $S$ 千米, 汽车从甲地匀速行驶到乙地, 速度不得超过 $c$ 千米/时.知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成: 可变部分与速度 $V$ (千米/时) 的平方成正比、比例系数为 $b$ ；固定部分为 $a$ 元。
I. 把全程运输成本 $y$ (元) 表示为速度 $V$ (千米/时) 的函数, 并指出这个函数的定义域；
II. 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?
已知数列 $\left\{{b}_{{n}}\right\}$ 是等差数列, ${b}_1=1, {~b}_1+{b}_2+\cdots+{b}_{10}=145$ 。
(I) 求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项 $b_n$;
(II) 设数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项 $a_n=\log _a\left(1+\frac{1}{b_n}\right)$（其中 $a>0$, 且 $a \neq 1$ ），记 $S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 n 项和。试比较 ${S}_{{n}}$ 与 $\frac{1}{3} \log _a b_{n+1}$ 的大小, 并证明你的结论。
已知函数 $y=f(x)$ 的图象是自原点出发的一条折线。当 $n \leqslant y \leqslant n+1(n=0,1,2 \ldots$ )时，该图象是斜率为 ${b}^{{n}}$ 的线段（其中正常数 ${b} \neq 1$ ），设数列 $\left\{{x}_{{n}}\right\}$ 由 ${f}\left({x}_{{n}}\right)={n}({n}=1,2, \ldots)$ 定义
(1) 求 ${x}^1 、 {x}^2$ 和 ${x}^n$ 的表达式；
(2) 求 $f(x)$ 的表达式，并写出其定义域：
(3) 证明: $y=f(x)$ 的图象与 $y=x$ 的图象没有横坐标大于 1 的交点。