已知集合 $A=\left\{y \mid y=2 x, x \in N^*\right\}, B=\left\{y \mid y=3^x, x \in N^*\right\}, A \cup B$ 中的所有元素按从小到大的顺序排列构成数列 $\left\{a_n\right\}, S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项的和.
(1) 求 $S_{10}$;
(2) 如果 $a_m=81, a_{2022}=t$, 求 $m$ 和 $t$ 的值;
（3）如果 $n=\frac{3^k-1}{2}+k\left(k \in N^*\right)$, 求 $11 S_n$ (用 $k$ 来表示).