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设 $\left\{a_n\right\}$ 是由正数组成的等比数列, $S_n$ 是其前 $n$ 项和.
(1) 证明 $\frac{\lg S_n+\lg S_{n+2}}{2} < \lg S_{n+1}$ ；
(2) 是否存在常数 $c>0$, 使得 $\frac{\lg \left(S_n-c\right)+\lg \left(S_{n+2}-c\right)}{2}=\lg \left(S_{n+1}-c\right)$ 成立? 并证明你的结论.
                        
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