已知数列 $\frac{8 \cdot 1}{1^2 \cdot 3^2}, \frac{8 \cdot 2}{3^2 \cdot 5^2}, \cdots, \frac{8 n}{(2 n-1)^2(2 n+1)^2}, \cdots . S_n$ 为其前 n 项和. 计算得 $S_1=\frac{8}{9}, \quad S_2=\frac{24}{25}, \quad S_3=\frac{48}{49}, \quad S_4=\frac{80}{81}$. 观察上述结果, 推测出计算 $S_n$ 的公式, 并用数学归纳法加以证明.