设 $\left\{a_n\right\}$ 是正数组成的数列, 其前 $n$ 项和为 $S_n$, 并且对于所有的自然数 $n, a_n$ 与 2 的等差中项等于 $S_n$ 与 2 的等比中项.
(1) 写出数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 3 项;
(2) 求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式 (写出推证过程);
(3) 令 $b_n=\frac{1}{2}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_{n+1}}\right)(n \in \mathbf{N})$, 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_1+b_2+... +b_n-n\right)$.