题号:
5954
题型:
解答题
来源:
共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷
已知 3 阶矩阵 $\mathrm{A}$ 的每行元素之和均为 3 , 且齐次线侏方程组 $A x=0$ 的一个基础解 系为 $\alpha_1=(1,0,-2)^T, \alpha_2=(2,1,0)^{\mathrm{T}}$, (I) 证明:A 能与对角阵相似; (II) 求 $\mathrm{A}$ 及 $\mathrm{A}^{1000}$.
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(I) $\because A \alpha_1=0 \quad A \alpha_2=0$ 表明 $\alpha_1, \alpha_2$ 是特征向量且无关,
设 $A=\left(a_{i j}\right)_3, \because\left\{\begin{array}{l}a_{11}+a_{12}+a_{13}=3 \\ a_{21}+a_{22}+a_{23}=3 \\ a_{31}+a_{32}+a_{33}=3\end{array} \Rightarrow A \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=3 \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)\right.$ 因此, A 有另一特征值 3。( $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 为其对应的特征向 量. $\because \alpha_1, \alpha_2 \alpha$ 线性无关 $\therefore \mathrm{A}$ 可对角化
(II) 令 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right)$, 则 $P^{-1} A P=\Lambda=\left(\begin{array}{lll}0 & & \\ & 0 & \\ & & 3\end{array}\right), A=P P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-6 & 12 & -3 \\ -6 & 12 & -3 \\ -6 & 12 & -3\end{array}\right)$
$$
A^{1000}=\left(P \Lambda P^{-1}\right)^{1000}=P \Lambda^{1000} P^{-1}=3^{999}\left(\begin{array}{ccc}
-6 & 12 & -3 \\
-6 & 12 & -3 \\
-6 & 12 & -3
\end{array}\right)
$$
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