一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x \leq 0 \\ x^2+x, & x>0\end{array}\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leq 0 \\ -\left(x^2+x\right), & x>0\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)= \begin{cases}-\left(x^2+x\right), & x < 0 \\ -x^2, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2, & x \leq 0 \\ x^2-x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $f(-x)= \begin{cases}x^2-x, & x < 0 \\ x^2, & x \geq 0\end{cases}$
若 $f(x)=-f(-x)$ 且 在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导，且对任意 $x_1, x_2$ ，当 $x_1>x_2$ 时，有 $f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)$ ，则
$\text{A.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(x)>0$
$\text{B.}$ 对任意 $x ， f^{\prime}(-x) < 0$
$\text{C.}$ 函数 $f(-x)$ 单调增加
$\text{D.}$ 函数 $-f(-x)$ 单调增加
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x & x \leq 0 \\ x+2 & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 & x < 0 \\ -x & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则 $g[f(x)]=$
$\text{A.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{B.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{C.}$ $\begin{cases}2-x^2, & x < 0 \\ 2-x, & x \geq 0\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}2+x^2, & x < 0 \\ 2+x, & x \geq 0\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 的某个领域内连续，且 $f(a)$ 为极大值，则存在 $\delta>0$ ，当 $x \in(a-\delta, a+\delta)$ 时，必有
$\text{A.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \geq 0$
$\text{B.}$ $(x-a)[f(x)-f(a)] \leq 0$
$\text{C.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \geq 0(x \neq a)$
$\text{D.}$ $\lim _{t \rightarrow a} \frac{f(t)-f(x)}{(t-x)^2} \leq 0(x \neq a)$
设 $f(x)$ 是连续函数， $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$\text{A.}$ 当 $f(x)$ 是奇函数时， $F(x)$ 必是偶函数
$\text{B.}$ 当 $f(x)$ 是偶函数时， $F(x)$ 必是奇函数
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 是是周期函数时， $F(x)$ 必是周期函数
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 是单调增函数时， $F(x)$ 必是单调增函数
设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$ ， 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定为零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leq 1 \\ 0, & |x|>1\end{array}\right.$ ，则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}1,|x| \leq 1 \\ 0,|x|>1\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leq 1 \\ 1, & |x|>1\end{cases}$
设函数 $f(x)$ 连续，则下列函数中，必为偶函数的是
$\text{A.}$ $\int_0^x f\left(t^2\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x f^2(t) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^x t[f(t)-f(-t)] \mathrm{d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^x t[f(t)+f(-t)] \mathrm{d} t$
设 $F(x)$ 是连续函数 $f(x)$ 的一个原函数，" $M \Leftrightarrow N$ " 表示 $" M$ 的充分必要条件是 $N "$ ，则必有
$\text{A.}$ $F(x)$ 是偶函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $F(x)$ 是奇函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $F(x)$ 是周期函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是周期函数
$\text{D.}$ $F(x)$ 是单调函数 $\Leftrightarrow f(x)$ 是单调函数
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是
$\text{A.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2] ，[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0] ，[0,2]$ 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周，设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{B.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$
设 $f(x)$ 是连续的奇函数， $g(x)$ 是连续的偶函数，区域
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,-\sqrt{x} \leq y \leq \sqrt{x}\}
$$
则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\iint_D f(y) g(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{B.}$ $\iint_D f(x) g(y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{C.}$ $\iint_D[f(x)+g(y)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
$\text{D.}$ $\iint_D[f(y)+g(x)] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0$
设 $f(x)=\ln ^{10} x, g(x)=x, h(x)=e^{\frac{x}{10}}$ ，则当 $x$ 充分大时有
$\text{A.}$ $g(x) < h(x) < f(x)$
$\text{B.}$ $h(x) < g(x) < f(x)$
$\text{C.}$ $f(x) < g(x) < h(x)$
$\text{D.}$ $g(x) < f(x) < h(x)$
二、填空题 （共 8 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
当 $x=$ （ ） 时, 函数 $y=x 2^{x}$ 取得极小值.
函数 $F(x)=\int_{1}^{x}\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) d t(x>0)$ 的单调减少区间为
设 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$, 则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ 其定义域为
函数 $\boldsymbol{F}(x)=\int_1^x\left(2-\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \mathrm{d} t(x>0)$ 的单调减少区间为
设 $f^{\prime}(\ln x)=1+x$ ，则 $f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}(\cos x)^{\frac{1}{\ln \left(1+x^2\right)}}=$
已知曲线 $y=x^3-3 a^2 x+b$ 与 $x$ 轴相切，则 $b^2$ 可以通过 $a$ 表示为 $b^2=$
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\alpha(x)=k x^2$ 与
$$
\beta(x)=\sqrt{1+x \arcsin x}-\sqrt{\cos x}
$$
是等价无穷小，则 $k=$
三、解答题 （ 共 6 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
求连续函数 $f(x)$ ，使它满足
$$
\int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=f(x)+x \sin x .
$$
假设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 上连续， $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 内存在且大于零，记 $F(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x>a)$. 证明 $F(x)$在 $(a,+\infty)$ 内单调增加.
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且
$$
F(x)=\int_0^x(x-2 t) f(t) \mathrm{d} t \text { ， }
$$
试证：(1) 若 $f(x)$ 为偶函数，则 $F(x)$ 也是偶函数；
(2) 若 $f(x)$ 单调不增，则 $F(x)$ 单调不减.
若 $x \rightarrow 0$ 时， $\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
试确定 $A, B, C$ 的常数值，使得
$$
e^x\left(1+B x+C x^2\right)=1+A x+o\left(x^3\right)
$$
其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 的高阶无穷小量.