答案：
先计算 $A^2, A^3, A^4$ ，找规律.
$$
\begin{aligned}
& A^2=A A=\left(\begin{array}{lll}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\
0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\
0 & 0 & \lambda^2
\end{array}\right) \\
& A^3=A^2 A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^2 & 2 \lambda & 1 \\
0 & \lambda^2 & 2 \lambda \\
0 & 0 & \lambda^2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\
0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\
0 & 0 & \lambda^3
\end{array}\right) \\
& A^4=A^3 A=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^3 & 3 \lambda^2 & 3 \lambda \\
0 & \lambda^3 & 3 \lambda^2 \\
0 & 0 & \lambda^3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^4 & 4 \lambda^3 & 6 \lambda^2 \\
0 & \lambda^4 & 4 \lambda^3 \\
0 & 0 & \lambda^4
\end{array}\right) \\
&
\end{aligned}
$$
注意到对角上的元素的关系， $n$ 从 1 开始，即
$$
\lambda, \lambda^2, \lambda^3, \lambda^4, 1,2 \lambda, 3 \lambda^2, 4 \lambda^3, 0,1,3 \lambda, 6 \lambda^2 .
$$
由数列知识不难得出:
$$
\begin{gathered}
\lambda, \lambda^2, \lambda^3, \lambda^4, \cdots, \lambda^n, 1,2 \lambda, 3 \lambda^2, 4 \lambda^3, \cdots, n \lambda^{n-1} \\
0,1,3 \lambda, 6 \lambda^2, \cdots, \frac{n(n-1)}{2} \lambda^{n-2}
\end{gathered}
$$
所以，猜想公式:
$$
A^k=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^k & k \lambda^{k-1} & \frac{k(k-1)}{2} \lambda^{k-2} \\
0 & \lambda^k & k \lambda^{k-1} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
下面利用数学归纳法严格证明：当 $k=2$ 时，由前面计算可知公式成立. 假设当 $k=n$ 时，猜想公式成立，即
$$
A^n=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^n & n \lambda^{n-1} & \frac{1}{2} n(n-1) \lambda^{n-2} \\
0 & \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\
0 & 0 & \lambda^n
\end{array}\right) .
$$
则当 $k=n+1$ 时， 有
$$
\begin{aligned}
A^{n+1}=A^n A & =\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^n & n \lambda^{n-1} & \frac{n(n-1)}{2} \lambda^{n-2} \\
0 & \lambda^n & n \lambda^{n-1} \\
0 & 0 & \lambda^n
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
\lambda & 1 & 0 \\
0 & \lambda & 1 \\
0 & 0 & \lambda
\end{array}\right) \\
& =\left(\begin{array}{ccc}
\lambda^{n+1} & (n+1) \lambda^n & \frac{(n+1) n}{2} \lambda^{n-1} \\
0 & \lambda^{n+1} & (n+1) \lambda^n \\
0 & 0 & \lambda^{n+1}
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$
因此，对一切的正整数 $n$ ，上述公式均成立，即证.