2023《线性代数》方阵n次方计算方法总结与典型例题求解-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$ ，求 $A^2, A^3, A^4, \cdots, A^n$.

答案：

$$
\begin{aligned}
& A^2=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
\lambda & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
\lambda & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 \lambda & 1
\end{array}\right) \\
& A^3=A^2 A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
2 \lambda & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
\lambda & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
3 \lambda & 1
\end{array}\right) . \\
& A^4=A^3 A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
1 & 0 \\
\lambda & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
4 \lambda & 1
\end{array}\right) .
\end{aligned}
$$

猜想 $A^k=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ k \lambda & 1\end{array}\right),(k \geq 1)$ ，下面利用数学归纳法严格证明:
当 $k=1$ 时， $A=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ \lambda & 1\end{array}\right)$ ，成立! 假设当 $k=n$ 时，猜想公式成立，即 $A^n=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ n \lambda & 1\end{array}\right)$ ，则当 $k=n+1$ 时，有

$$
A^{n+1}=A^n A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
n \lambda & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
\lambda & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
(n+1) \lambda & 1
\end{array}\right) .
$$
可知，当 $k=n+1$ 时，猜想公式也成立. 因此，对一切的正整数 $n$ ，上述公式均成立! 即 $A^n=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ n \lambda & 1\end{array}\right)$.
注: 在计算过程中一定注意观察，有时候矩阵的元素不一定需要化到最简形式.

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