一、单选题 （共 24 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设矩阵 $A$ 与 $B$ 等价, 则有
$\text{A.}$ $R(A) < R(B)$
$\text{B.}$ $R(A)>R(B)$
$\text{C.}$ $R(A)=R(B)$
$\text{D.}$ 不能确定 $R(A)$ 和 $R(B)$ 的大小
设 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的系数矩阵 $A$ 的秩为 $r$, 则 $A x=0$ 有非零解 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $r=n$
$\text{B.}$ $r \geq n$
$\text{C.}$ $r < n$
$\text{D.}$ $r>n$
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 （ ） 个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 两两正交, 则 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 中只能有一个为 $\mathbf{0}$
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则必有
$\text{A.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
$\text{B.}$ $A B=B A$
$\text{C.}$ $|A B|=|B A|$
$\text{D.}$ $(A+B)^{-1}=A^{-1}+B^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶矩阵, 则下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $|A B|=0$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ 若 $|\boldsymbol{A B}|=0$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$ 或 $|\boldsymbol{B}|=0$
$\text{C.}$ 若 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$ 或 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$
$\text{D.}$ 若 $\boldsymbol{A B} \neq \boldsymbol{O}$, 则 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ 或 $|\boldsymbol{B}| \neq 0$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $m < n, r(\boldsymbol{A})=m$, 以下选项中错误的是
$\text{A.}$ 存在 $n$ 阶可逆矩阵 $Q$, 使得 $A Q=\left(\boldsymbol{E}_m \mid \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{B.}$ 存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P A}=\left(\boldsymbol{E}_m \boldsymbol{O}\right)$.
$\text{C.}$ 齐次线性方程组 $A x=0$ 有零解.
$\text{D.}$ 非齐次线性方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵, 则 “ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵” 是“ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量” 的
$\text{A.}$ 充分非必要条件.
$\text{B.}$ 必要非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}$ 为方阵, $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{O}$, 则 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{O}$
$\text{B.}$ $A, B$ 为同阶方阵, 则 $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 为逆矩阵, 则 $\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶方阵, 则 $\left(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$
设 $\boldsymbol{M}_1=\left(\begin{array}{rrr}1 & -2 & 3 \\ -2 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_2=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 3\end{array}\right), \boldsymbol{M}_3=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -2 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 2\end{array}\right)$, $\boldsymbol{M}_4=\left(\begin{array}{rrr}2 & 0 & 0 \\ -3 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 2\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2, \boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4$ 中不能与对角阵相似的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{M}_1$
$\text{B.}$ $\boldsymbol{M}_2$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{M}_3$
$\text{D.}$ $\boldsymbol{M}_4$
下列命题正确的个数为 ( ).
①设 $x$ 为 $n$ 维列向量, 且 $x^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}=1$, 若 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-x \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$, 则 $|\boldsymbol{A}|=0$.
②$A_{n \times m}, B_{m \times n}, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 则 $B x=0$ 仅有零解.
③设向量组 I : $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由 II : $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示, 则当 $r>s$ 时, I 必线性 相关.
④设 $A, B, C$ 均为 $n$ 阶矩阵, 若 $A B=C$, 且 $B$ 可逆, 则 $C$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组等价.
$\text{A.}$ 1个
$\text{B.}$ 2个
$\text{C.}$ 3个
$\text{D.}$ 4个
关于矩阵的乘法下列描述错误的是
$\text{A.}$ 满足交换律
$\text{B.}$ 不满足消去律
$\text{C.}$ 满足结合律
$\text{D.}$ 满足分配律
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵且满足 $A X B=C$, 则 $X= $
$\text{A.}$ $A^{-1} B^{-1} C$
$\text{B.}$ $A^{-1} C B^{-1}$
$\text{C.}$ $B^{-1} C A^{-1}$
$\text{D.}$ $C A^{-1} B^{-1}$
$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是
$\text{A.}$ 任一行向量都是非零向量
$\text{B.}$ 任一列向量都是非零向量
$\text{C.}$ 线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{D.}$ 当 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ 时, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 两行对调, 再将第 2 列的 2 倍加到第 3 列得 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^{\cdot}= $.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
设$$
\begin{gathered}
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right), \\
\mathbf{P}_1=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{P}_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{gathered}
$$
则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A} \mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2=\mathbf{B}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{A P}_2 \mathbf{P}_1=\mathbf{B}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2 \mathbf{A}=\mathbf{B}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{P}_2 \mathbf{P}_1 \mathbf{A}=\mathbf{B}$.
设 $\mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵, 且 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|=0$, 则 $\mathbf{A}$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 ;
$\text{B.}$ 必有两列元素成比例;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意列向量是其余列向量的线性组合.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 则下列表达式一定正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
$\text{C.}$ $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{D.}$ $(A+E)(A-E)=A^2-E$
矩阵 $A$ 是由 3 阶单位矩阵 $E$ 依次经过初等变换 $c_1+2 c_3, r_2 \leftrightarrow r_3$ 得到的, 其对应的初等 矩阵分别为 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 可以表示为
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{E}$, 则下列 $k$ 值中, 使 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})$ 最 小的是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解的充分条件的个 数是
(1) $r\left(\begin{array}{c}A \\ A^*\end{array}\right) < 3$.
(2) $r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*\right) < 3$.
(3) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 是对称矩阵.
(4) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 不是对称矩阵.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=\frac{1}{2}$ ，则行列式 $\left|-2 A^*\right|$ 等于
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，满足 $A=A^2$ ，若 $A \neq E$ ，则
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 满秩
二、填空题 （共 22 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 3 阶行列式 $D$ 的第 2 行元素分别为 $1,2,-1$, 它们的余子式分别为 $1,-1,2$, 则$D=$
设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=r$, 则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x=0$ 的解集 $S$ 的最大无关组 $S_0$ 的秩 $R_{s_0}=$
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right]$, 则二次型 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A x}$ 的正惯性指数为
设 $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right]$, 且 $A^6=E, E$ 为 2 阶单位矩阵, 则 $A^{11}=$
设 3 阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$, 而且 $B=A^2+A-2 E$, 则 $|B|=$
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4\right)$ 经过初等行变换化为 $\left(\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 选 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为最大无关组, 则 $\boldsymbol{\alpha}_4$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示为 $\alpha_4=$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 4 阶矩阵, $(\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系中只有 2 个解向量, $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=$ 0 的基础解系中只有 1 个解向量, 则 $r\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}-2 \boldsymbol{E}\right)=$
$$\text {设 } \boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
-2 & 1
\end{array}\right), f(x)=x^2+x-2 \text { 及, 则 } f\left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)=
$$
设 $\boldsymbol{A}$ 是二阶矩阵, 则 $|\boldsymbol{A}| < 0$ 是 $\boldsymbol{A}$ 可对角化的 ________ 条件(充分、必要、充要);
设 $A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$.
已知方阵 $A$ 满足 $A^2-3 A+2 E=0, E$ 为单位矩阵, 则 $(A+E)^{-1}=$
$A(2,-1,-1), B(1, a, 2), C(3,1,2)$ 以及 $D(1,0,1)$ 共面, 则 $a=$
矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)^{101}=$ ________ , 行列式 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}3+a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\ a_2 b_1 & 3+a_2 b_2 & a_2 b_3 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & 3+a_3 b_3\end{array}\right)=$ ________
设 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right]$ 不可逆, 则 $a=$ ________
$A^*=$ ________
如A可逆，则$A^{-1}$= ________
设 $\boldsymbol{A}$ 为可相似对角化的 4 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 4 维非零列向量. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值的个数为
设 4 阶方阵 $A=\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2\right), B=\left(\boldsymbol{\beta}, 2 \boldsymbol{\gamma}_1, 2 \boldsymbol{\gamma}_2\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2$ 均为 3 维列向量, 已知 行列式 $|A|=1,|B|=4$, 则行列式 $|A+B|=$