2024全国硕士研究生招生考试考研数学模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有（　　）个
①$B C A=E$
②$C A B=E$
③$C^* B^* A^*=E$
④${A}^T {C}^T {B}^T={E}$

$ \text{A.}$ 1 $ \text{B.}$ 2 $ \text{C.}$ 3 $ \text{D.}$ 4

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我来讲解

答案：

解析：

解析:
由于 $A B C=E$, 所以 $B C A=E$ 。所以(1)正确。
有同学会误以为(2)也是对的, 因为曾经做到了一个真题, 是这样的:
【真题】设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶方阵, 并且 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 则下列说法中一定正确的是 ( $)$
A. $A C B=E$
B. $B A C=E$
C. $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
D. $\boldsymbol{C B A}=\boldsymbol{E}$
可能会听到有一个说法, 就是 “相对位置不变, 则一定正确”。所以就可以秒杀选择 C。
实际上(2)是错误的, 因为 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 所以 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}$ 都可逆, 所以 $R(\boldsymbol{B} \boldsymbol{C})=m$ 。
所以 $R(\boldsymbol{B})$ 和 $R(\boldsymbol{C})$ 都只能取 $m$ (因为 $R(\boldsymbol{B} \boldsymbol{C}) \leqslant \min \{R(\boldsymbol{B}), R(\boldsymbol{C})\} \leqslant \min \{m, n\}=m)$ 。
所以 $R(\boldsymbol{C A} \boldsymbol{B}) \leqslant \min \{R(\boldsymbol{C}), R(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})\}=\min \{R(\boldsymbol{C}), R(\boldsymbol{B})\}=m < n$, 所以(2)错误。
(3)选项有很多同学他会这么做, 就是: $C^* B^* A^*=(A B C)^*=E^*=E$, 所以(3)正确。
但是这里有个巨大的坑: 非方阵没有伴随矩阵。所以这个看起来非常正确的(3)其实是错误的。
由于 $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=(\boldsymbol{B C} \boldsymbol{A})^T=\boldsymbol{E}^T=\boldsymbol{E}$, 所以(4)正确。
所以正确的个数有 2 个,

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