题号:
5666
题型:
单选题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实矩阵, 则 “ $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵” 是“ $\boldsymbol{A}$ 有 3 个相互正交的特征向量” 的
$ \text{A.}$ 充分非必要条件.
$ \text{B.}$ 必要非充分条件.
$ \text{C.}$ 充分必要条件.
$ \text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
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答案：
答案：
C
解析：
【分析】充分性显然正确, 实对称矩阵不同特征值的特征向量一定是正交的, 同一特征值线性无关 的特征向量可进行施密特正交化处理, 从而得到 3 个相互正交的特征向量.
必要性. 设 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 是 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个相互正交的特征向量 (注意, 3 个相互正交的特征向量必是 3 个线性无关的特征向量), 则该 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 必可相似对角化, 将相互正交的特征向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 单位化 处理成 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$, 则 $\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3$ 仍是该 3 阶矩阵 $A$ 的特征向量, 且此时 $Q=\left(\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\right)$ 就是由特征向量 拼成的正交 (可逆) 矩阵, 于是便有 $Q^{-1} \boldsymbol{A} Q=\boldsymbol{\Lambda}$, 从而 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda}^{-1}$, 进而$$
\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}\right)^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{Q}^{-1}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}=\left(\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{A},
$$
于是 $\boldsymbol{A}$ 是实对称矩阵. 应选 $\mathrm{C}$
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