2023《线性代数》方阵n次方计算方法总结与典型例题求解-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设矩阵 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$, 求 $A^n,(n \geq 1)$.

答案：

方法 1: 当 $A$ 为方阵且秩 $r(A)=1$ ，则 $A^n=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1} A$ ，其中 $\operatorname{tr}(A)$ 为方阵 $A$ 的迹，即为方阵对角线元素的和.

因为 $r(A)=r\left(\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)\right)=1, \operatorname{tr}(A)=2$ ，所以由方法1可知: $A^n=[\operatorname{tr}(A)]^{n-1} A=2^{n-1} A=2^{n-1}\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$.

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