2022年第二学期《线性代数》期末考试模拟试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

证明: 设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^2-A-2 E=0$, 证明 $A$ 及 $A+2 E$ 都可逆, 并求 $A^{-1}$ 及 $(A+2 E)^{-1}$ 。

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答案：

证明:
(1) 由已知可得 : $A(A-E)=2 E \Rightarrow A\left[\frac{1}{2}(A-E)\right] E$, 知 $A$ 可逆 ,
$$
A^{-1}=\frac{1}{2}(A-E)
$$
(2) 由已知可得 $A^2-A-6 E=(A+2 E)(A-3 E)=-4 E$, $\Rightarrow(A+2 E)\left[\frac{1}{4}(3 E-A)\right]=E \quad$ 知 $A+2 E \quad$ 可逆， $(A+2 E)^{-1}=\frac{1}{4}(3 E-A)$

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