题号:
6274
题型:
解答题
来源:
2023《线性代数》方阵n次方计算方法总结与典型例题求解
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$ ，求 $A^n(n \geq 1)$.
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答案：
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方法 : 找规律 ，若 $A^2=k A$ ( $k$ 为某常数)，则 $A^n=k^{n-1} A$. 【说明】: 该结论利用归纳法可以直接证明.
先计算 $A^2$ ，可得
$$
\begin{aligned}
A^2 & =\left(\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right) \\
& =1 \cdot A
\end{aligned}
$$
表明方法 2 中的 $k=1$ ，即
$$
A^n=1^{n-1} A=A=\left(\begin{array}{ccc}
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\
-\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}
\end{array}\right) \text {. }
$$
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