一、单选题 （共 13 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
关于矩阵的乘法下列描述错误的是
$\text{A.}$ 满足交换律
$\text{B.}$ 不满足消去律
$\text{C.}$ 满足结合律
$\text{D.}$ 满足分配律
设 $A, B$ 都是 $n$ 阶可逆矩阵且满足 $A X B=C$, 则 $X= $
$\text{A.}$ $A^{-1} B^{-1} C$
$\text{B.}$ $A^{-1} C B^{-1}$
$\text{C.}$ $B^{-1} C A^{-1}$
$\text{D.}$ $C A^{-1} B^{-1}$
$n$ 阶方阵 $A$ 可逆的充分必要条件是
$\text{A.}$ 任一行向量都是非零向量
$\text{B.}$ 任一列向量都是非零向量
$\text{C.}$ 线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{D.}$ 当 $\boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$ 时, $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \neq \mathbf{0}$, 其中 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 1,2 两行对调, 再将第 2 列的 2 倍加到第 3 列得 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^{\cdot}= $.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}3 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ 1 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \\ 1 & 0 & -1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{ccc}-3 & -2 & 1 \\ 1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)$
设$$
\begin{gathered}
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right), \\
\mathbf{P}_1=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{P}_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{gathered}
$$
则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A} \mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2=\mathbf{B}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{A P}_2 \mathbf{P}_1=\mathbf{B}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2 \mathbf{A}=\mathbf{B}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{P}_2 \mathbf{P}_1 \mathbf{A}=\mathbf{B}$.
设 $\mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵, 且 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|=0$, 则 $\mathbf{A}$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 ;
$\text{B.}$ 必有两列元素成比例;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意列向量是其余列向量的线性组合.
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 则下列表达式一定正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
$\text{C.}$ $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{D.}$ $(A+E)(A-E)=A^2-E$
矩阵 $A$ 是由 3 阶单位矩阵 $E$ 依次经过初等变换 $c_1+2 c_3, r_2 \leftrightarrow r_3$ 得到的, 其对应的初等 矩阵分别为 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 可以表示为
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{E}$, 则下列 $k$ 值中, 使 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})$ 最 小的是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解的充分条件的个 数是
(1) $r\left(\begin{array}{c}A \\ A^*\end{array}\right) < 3$.
(2) $r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*\right) < 3$.
(3) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 是对称矩阵.
(4) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 不是对称矩阵.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=\frac{1}{2}$ ，则行列式 $\left|-2 A^*\right|$ 等于
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，满足 $A=A^2$ ，若 $A \neq E$ ，则
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 满秩
二、判断题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $A, B$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶方阵, 若 $E-A B$ 可逆, 则 $E-B A$ 也可逆, 其中 $E$ 为单位阵.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A(\lambda), B(\lambda)$ 都是数域 $P$ 上的 $n$ 阶 $\lambda$-矩阵, 则 $A(\lambda), B(\lambda)$ 等价的充分必要条件为 $A(\lambda), B(\lambda)$ 有相同的初等因子组.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
三、填空题 （共 13 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $A=\left[\begin{array}{rr}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right], E=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$.
已知方阵 $A$ 满足 $A^2-3 A+2 E=0, E$ 为单位矩阵, 则 $(A+E)^{-1}=$
$A(2,-1,-1), B(1, a, 2), C(3,1,2)$ 以及 $D(1,0,1)$ 共面, 则 $a=$
矩阵 $\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right)^{101}=$ ________ , 行列式 $\operatorname{det}\left(\begin{array}{ccc}3+a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3 \\ a_2 b_1 & 3+a_2 b_2 & a_2 b_3 \\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & 3+a_3 b_3\end{array}\right)=$ ________
设 $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & a\end{array}\right]$ 不可逆, 则 $a=$ ________
$A^*=$ ________
如A可逆，则$A^{-1}$= ________
设 $\boldsymbol{A}$ 为可相似对角化的 4 阶矩阵, $\boldsymbol{\alpha}$ 为 4 维非零列向量. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A}^3 \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, 则 $\boldsymbol{A}$ 的不同特征值的个数为
设 4 阶方阵 $A=\left(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2\right), B=\left(\boldsymbol{\beta}, 2 \boldsymbol{\gamma}_1, 2 \boldsymbol{\gamma}_2\right)$, 其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2$ 均为 3 维列向量, 已知 行列式 $|A|=1,|B|=4$, 则行列式 $|A+B|=$
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\ -1 & 2\end{array}\right), E$ 为二阶单位矩阵, 可逆矩阵 $B$ 满足 $B A=B+2 E$, 则 $|B|=$
设矩阵 $\mathcal{A}=\left(\begin{array}{llll}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right)$, 且 $R(A)=3$, 则 $k=$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶方阵, 且存在非零复数 $k$, 使得 $\boldsymbol{A B}=k \boldsymbol{A}+k \boldsymbol{B}$,
(1) 证明: $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$.
(2) 设 $k=1$, 当 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 2 \\ 1 & 2 & 2\end{array}\right)$ 时, 求 $\boldsymbol{B}$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $\boldsymbol{A}^4$ 的最大特征值为
设 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3\end{array}\right) ， A$ 为 $4 \times 3$ 矩阵，且 $R(A)=2$ ，则 $R(A B)=$
设 $A$ 和 $B$ 是 3 阶方阵， $A$ 的 3 个特征值分别为 $-3,3,0$ ， 若 $E+B=A B$ ，则行列式 $\left|B^{-1}+2 E\right|=$
四、解答题 （ 共 12 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知矩阵 $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0\end{array}\right]$, 矩阵 $X$ 满足如 下矩阵表达式: $A X A+B X B=A X B+B X A+E$, , 其中 $E$ 为三阶单位矩阵, 求矩阵 $X$.
设 $n \geq 2$ 是给定正整数. 考虑 $n \times n$ 矩阵 $X=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}\left(a_{i, j}=0\right.$ 或者 1$)$ 的集合.
(1) 证明: 存在这样的 $X$ 满足 $\operatorname{det} X=n-1$.
(2) 若 $2 \leq n \leq 4$, 证明 $\operatorname{det} X \leq n-1$.
(3) 若 $n \geq 2023$, 证明存在 $X$ 使得 $\operatorname{det} X>n^{\frac{n}{4}}$.
设 $n$ 阶实对称矩阵 $A, B$ 以及 $A+B$ 的正惯性指数分别为 $P_A, P_B$ 以及 $P_{A+B}$, 试 证明: $P_{A+B} \leqslant P_A+P_B$.
给定矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 1\end{array}\right]$, 计算
(1) $|A|$
(2) $A^{-1}$
(3) $A A^T$
(4) 设有矩阵方程 $A X=2 X+A$, 求 $X$
设 $n$ 阶矩阵 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$ 满足条件: $\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{A B}$.
(1) 证明: $\mathbf{A}-\mathbf{E}$ 是可逆矩阵, 其中 $\mathbf{E}$ 是 $n$ 阶单位.
(2) 已知矩阵 $\mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$, 求矩阵 $\mathbf{A}$.
设 4 阶矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{llll}1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 3 & 3 \\ 4 & 4 & 4 & 4\end{array}\right]$, 求 $\mathbf{A}^{100}$.
$p=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\ 2 & 5 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 10 & 11 \\ 4 & 8 & 12 & 17\end{array}\right)-\frac{1}{30^{2022}}\left(p p^T\right)^{2023}, B=\left(\begin{array}{llll}2 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
(1)、求矩阵 $A$
(2) 、若 $X$ 满足 $X\left(E-B^{-1} A\right)^T B^T=E$, 求矩阵 $X$
证明题 设 $A$ 为三阶正定矩阵, 证明: $|A|>0,|A+E|>1$
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 3 维向量空间的一组基,3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_1=-2 \boldsymbol{\alpha}_1+5 \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_3$, $A \alpha_2=2 \alpha_2-\alpha_3, A \alpha_3=-\alpha_1+8 \alpha_2-3 \alpha_3$.
(I) 设矩阵 $\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 为从 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 到 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 的过渡矩阵, 求矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得
$$
\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right) \boldsymbol{B} ;
$$
(II) 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是否相似于对角矩阵? 请说明理由.
设 $A=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}1 & -1 & 0\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 3 & 0\end{array}\right)$ ，若 $R(A B+B)=2$ ， 求 $a$.
“设 $A$ 是 $n$ 阶实的反对称矩阵，则对于任何 $n$ 维实的列向 量 $\alpha ， \alpha$ 和 $A \alpha$ 正交，且 $A-E$ 可逆”. 你认为该结论成立吗? 请说明理由.
设矩阵 $A$ 满足 $2 A^{-1} B=2 B+E$ ，
$$
B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & -\frac{1}{2} & 0 \\
\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\
0 & 0 & -\frac{3}{2}
\end{array}\right),
$$
试求出 $A-E$ 的第 2 行的元素.