设 $n \geq 2$ 是给定正整数. 考虑 $n \times n$ 矩阵 $X=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i, j \leq n}\left(a_{i, j}=0\right.$ 或者 1$)$ 的集合.
(1) 证明: 存在这样的 $X$ 满足 $\operatorname{det} X=n-1$.
(2) 若 $2 \leq n \leq 4$, 证明 $\operatorname{det} X \leq n-1$.
(3) 若 $n \geq 2023$, 证明存在 $X$ 使得 $\operatorname{det} X>n^{\frac{n}{4}}$.