一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求其成立的区间。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆, 求原点到这椭圆的最长与最短距离。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1) !}$ 的和函数。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数, 且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简 单光滑闭曲线, 取逆时针方向, $L$ 围成的平面区域为 $D$, 已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma,
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
证明: $\int_0^{\sqrt{2 \pi}} \sin \left(x^2\right) \mathrm{d} x>\frac{2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{\pi}}$.
设三角形的三个内角分别为 $A, B, C$ ，求$3 \cos A+4 \cos B+6 \cos C$的最大值.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x}, x \in(0,1], \\ 1, x=0 .\end{array}\right.$
证明: (1) 对任意的自然数 $n \geq 2$ ，存在唯一的 $x_n \in(0,1)$ ，使得
$$
\int_{\frac{1}{n}}^{x_n} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_n}^1 \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x .
$$
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在.
设 $a>0$ ，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，在开 区间 $(a, b)$ 内可导， $f(a) \neq f(b)$. 证明: 存在 $\xi, \eta \in(a, b)$ ， 使得
$$
a b(a+b) f^{\prime}(\xi)=2 \xi \eta^2 f^{\prime}(\eta)
$$
讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos \left(n+\frac{1}{n}\right)}{\sqrt{n}}$ 的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛).
设 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上且以 $T>0$ 为周期的连续函数， 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} n \int_n^{+\infty} \frac{f(x)}{x^2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{T} \int_0^T f(x) \mathrm{d} x
$$
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求
$$
\int f(x) d x .
$$
设 $a, b$ 满足条件 $a \geqslant 0, b \leqslant 0$ 及 $\int_a^b|x| \mathrm{d} x=-\frac{1}{2}$, 求直线 $y=a x$ 与抛物线 $y=x^2+b x$ 所围 成区域的面积的最大值与最小值.
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x, a_n=\int_0^{n \pi}|f(x)| \mathrm{d} x(n-1$, $2, \cdots)$.
(1) 求 $a_n$;
(2) 求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域与和函数.
设空间曲线 $L:\left\{\begin{array}{l}z=x^2+2 y^2, \\ z=6-2 x^2-y^2,\end{array}\right.$ 从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向, 计算曲线积分
$$
I=\oint_L\left(z^2-y\right) \mathrm{d} x+\left(x^2-z\right) \mathrm{d} y+\left(x-y^2\right) \mathrm{d} z
$$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)^{\frac{1}{f(x)}}=\sqrt{e}$, 求 $f^{\prime \prime}(0)$ 的 值.
多元设 $f(x, y)=3 x+4 y-a x^2-2 a y^2-2 b x y$, 试问参数 $a, b$ 分别满足什么条件时, $f(x, y)$ 有唯一极大值? $f(x, y)$ 有唯一极小值?
多元设平面区域为 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$, 若表达式为
$$
x y\left[\iint_D f(x, y) d x d y\right]^2=f(x, y)-1
$$
且 $I(t)=\int_t^1 f(x, t) d x$, 试求 $\int_0^1 I(t) \mathrm{d} t$.
设 $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin ^n x \cos x d x, n=0,1,2 \cdots$, (I) 求 $I_n$; (II) 求级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(n^2+3 n+3\right) I_n$ 的和.
设 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, $a \in(0,1)$, 且 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上的平均值等于在 $[a, 1]$ 上以 $f(a)$ 为高的矩形面积. 试证明: (I ) 存在点 $\xi \in(0, a)$ 内使得 $f(\xi)=f(a)(1-a)$; (II) 存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $(\xi-a) f^{\prime}(\eta)=-a f(a)$.
计算定积分: $I=\int_{-\pi}^\pi \frac{x \sin x \cdot \arctan e^x}{1+\cos ^2 x} d x$.
求 $S=\sum_{n=1}^{\infty}\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{(-1)^{n-1}}{n}-\ln 2\right]$.
求定积分: $\int_0^\pi \cos ^2 x \mathrm{~d} x$.
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$.
求定积分: $\int_0^1 \ln (1+\sqrt{x}) \mathrm{d} x$.
求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.
求广义积分: $\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-x} \cos (a x) \mathrm{d} x$, 其中 $a$ 为常数.
求曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $x \in[1,2]$ 上的弧长.
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}
x y \sin \frac{1}{x^2+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\
0, & x^2+y^2=0
\end{array} ;\right.
$$
证明:
(1) $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} f(t \cos \alpha, t \sin \alpha)=f(0,0)$;
(2) $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)$.
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$;
证明: (1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 存在;
(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微.