2022浙江大学春季学期数学分析2期中测试（青春回忆版）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

求定积分: $\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x$.

答案：

解:
$$
\begin{aligned}
\int_0^1 \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) \mathrm{d} x & =\left.x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right|_0 ^1-\int_0^1 x \mathrm{~d}\left[\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\right] \\
& =1 \cdot \ln \left(1+\sqrt{1+1^2}\right)-0-\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \mathrm{~d} x \\
& =\ln (1+\sqrt{2})-\int_0^1 \frac{\mathrm{d}\left(1+x^2\right)}{2 \sqrt{1+x^2}} \\
& =\ln (1+\sqrt{2})-\left.\sqrt{1+x^2}\right|_0 ^1 \\
& =\ln (1+\sqrt{2})-\left(\sqrt{1+1^2}-\sqrt{1+0^2}\right) \\
& =\ln (1+\sqrt{2})-\sqrt{2}+1
\end{aligned}
$$

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