题号:
6396
题型:
解答题
来源:
2022浙江大学春季学期数学分析2期中测试（青春回忆版）
求曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 在 $x \in[1,2]$ 上的弧长.
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答案：
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本题对于积分需要一定的功底, 不同的换元会出现不同的效果. 提取出$e^x$再用分部积分法
解：$$
\begin{aligned}
\int_1^2 \sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}} \mathrm{~d} x & =\int_1^2 \sqrt{\mathrm{e}^{2 x}\left(\mathrm{e}^{-2 x}+1\right)} \mathrm{d} x=\int_1^2 \mathrm{e}^x \sqrt{1+\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{~d} x=\int_1^2 \sqrt{1+\mathrm{e}^{-2 x}} \mathrm{de}^x \\
& =\left.\mathrm{e}^x \sqrt{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\right|_1 ^2-\int_1^2 \mathrm{e}^x \mathrm{~d}\left(\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\right) \\
& =\left.\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}\right|_1 ^2-\int_1^2 \mathrm{e}^x \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\left(1+\mathrm{e}^{-2 x}\right)}} \cdot\left[\mathrm{e}^{-2 x} \cdot(-2)\right] \mathrm{d} x \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}+\int_1^2 \frac{\mathrm{e}^{-x}}{\sqrt{1+\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^2}} \mathrm{~d} x \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}-\int_1^2 \frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)}{\sqrt{1+\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^2}} \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}-\left.\ln \left|\mathrm{e}^{-x}+\sqrt{1+\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^2}\right|\right|_1 ^2 \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}-\left.\ln \left|\mathrm{e}^{-x}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2 x}}\right|\right|_1 ^2 \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}-\left(\ln \left|\mathrm{e}^{-2}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-4}}\right|-\ln \left|\mathrm{e}^{-1}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2}}\right|\right) \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}-\ln \left(\mathrm{e}^{-2}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-4}}\right)+\ln \left(\mathrm{e}^{-1}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2}}\right) \\
& =\sqrt{1+\mathrm{e}^4}-\sqrt{1+\mathrm{e}^2}+\ln \left(\frac{\mathrm{e}^{-1}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-2}}}{\mathrm{e}^{-2}+\sqrt{1+\mathrm{e}^{-4}}}\right) .
\end{aligned}
$$
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