共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷 -Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $y=f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续, $a \in(0,1)$, 且 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上的平均值等于在 $[a, 1]$ 上以 $f(a)$ 为高的矩形面积. 试证明: (I ) 存在点 $\xi \in(0, a)$ 内使得 $f(\xi)=f(a)(1-a)$; (II) 存在 $\eta \in(0,1)$ 使得 $(\xi-a) f^{\prime}(\eta)=-a f(a)$.

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答案：

( I ) 由题设有 $f(a)(1-a)=\frac{1}{a} \int_0^a f(x) \mathrm{d} x$, 令 $F(x)=\int_0^x f \mathrm{~d} t$, 对函数 $F(x)$ 在区间 $[0, a]$ 上应用 Largrange 中值定理, 由此可得 $\exists \xi \in(0, a)$ 使得 $\int_0^a f(x) \mathrm{d} x=F(a)-F(0)=F^{\prime}(\xi) a=f(\xi) a$, 从而有 $f(\xi)=f(a)(1-a)$;
(II) 对函数 $f(x)$ 在区间 $[\xi, a]$ 上应用 Largrange 中值定理知 $\exists \eta \in(\xi, a) \subset(0,1)$ 使得 $f(\xi)-f(a)=f^{\prime}(\eta)(\xi-a)$, 而 $f(\xi)=f(a)(1-a)$, 因而有
故原命题成立.

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