题号:
5950
题型:
解答题
来源:
共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷
多元设平面区域为 $D: 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$, 若表达式为
$$
x y\left[\iint_D f(x, y) d x d y\right]^2=f(x, y)-1
$$
且 $I(t)=\int_t^1 f(x, t) d x$, 试求 $\int_0^1 I(t) \mathrm{d} t$.
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答案：
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设 $\iint_D f(x, y) d d d$, , 等式两边同时积分可得 $A^2 \iint_D x y d x d y=A-1, A^2-4 A+4=0, A=2$. 所以 $x y\left(\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right)^2=f(x, y)-1, f(x, y)=4 x y+1$,
$$
\int_0^1 I(t) d t=\int_0^1 d t \int_t^1 f(x, t) d x=\int_0^1 d t \int_0^t(4 x t+1) d x=4 \int_0^1 t d x \int_0^t x d x+\frac{1}{2}=1
$$
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