一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 二阶可导并且 $f(x)$ 具有反函数 $f^{-1}(x), f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{f^{-1}(x)}\right]$ 。
若二元函数 $f(u, v)$ 对每个变量都具有二阶连续偏导数, 并且满足 $u \frac{\partial f}{\partial u}+v \frac{\partial f}{\partial v}=4 f(u, v)$, 并且 满足 $\frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=u^2+v^2$ 。
(1) 求证: $\left\{\begin{array}{l}u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}+2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=12 f(u, v) \\ v^2 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2}-2 u v \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}+u^2 \frac{\partial^2 f}{\partial v^2}=\left(u^2+v^2\right)^2-12 f(u, v)\end{array}\right.$
(2) 记 $g(x, y)=f\left(\mathrm{e}^{\lambda x} \cos y, \mathrm{e}^{\lambda x} \sin y\right)$, 其中 $\lambda$ 是一个常数, 求解 $\frac{\partial^2 g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 g}{\partial y^2}$ 。
计算 $\iint_D\left(x y \mathrm{e}^{x^2+y^2}+x^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $D: x^2+y^2 < |x|+|y|$ 。
设函数 $f(x)$ 的定义域为全体实数, 并且 $f(x)$ 具有二阶导数, 并且 $f^{\prime \prime}(x)>0, f^{\prime}(x)>0$, 在同 一个坐标系下, 曲线 $y=f(x)$ 和直线 $y=x$ 有且只有两个交点 $P_1(a, f(a))$ 和 $P_2(b, f(b))$, 其中 $a < b$ 。
(1) 求证: $f^{\prime}(a) < 1 < f^{\prime}(b)$ 。并且 $\forall x < a$, 一定有 $f(x)>x ; \forall a < x < b$, 一定有 $f(x) < x$ 。
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)$, 求证: 当 $x_1 < a$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$; 当 $a < x_1 < b$ 时, $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 。
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\sum_{k=1}^n \frac{k^2}{n^2+k}-\frac{n}{3}\right]$.
设 $p$ 是某正整数， $I_n=\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^p}-\frac{n}{p+1}$ ，试求 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设 $n$ 为给定的正整数， $[x]$ 表示 $x$ 的取整， $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \sin t \mathrm{~d} t=-\frac{1}{2} \pi \ln 2$. 计算
$$
I=\int_0^1[n x] \cdot \frac{\ln x+\ln (1-x)}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x .
$$
设 $x>0$ 时， $\left(1+x^2\right) f^{\prime}(x)+(1+x) f(x)=1 ， g^{\prime}(x)=f(x), f(0)=g(0)=0$.
证明: $\sum_{n=1}^{\infty} g\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$.
试求曲线 $\left(x^3+y^3\right)^2=x^2+y^2$ 所围的平面图形区域在第一象限部分的面积.
设函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内严格单调递增且可导， $x=f^{-1}(y)$ 为其反函数，
$$
\forall x, y>0, x y \leq \frac{1}{2}\left[x f(x)+y f^{-1}(y)\right] .
$$
求 $f(x)$ 的解析式.
一个底半径为 1 ，高为 6 的圆柱形水桶，在距离底部为 2 处有两个小孔，且两 个,小孔的连线与圆柱的轴线垂直相交，试问该水桶最多能盛多少水!
讨论下列数列的敛散性。
$$
a_n=\sqrt[n]{1+\sqrt[n]{2+\sqrt[n]{3+\cdots+\sqrt[n]{n}}}}
$$
设 $f(x) \in C[a, b], f(a)=f(b)$ 。证明, 存在数列 $x_n, y_n$ 满足 $x_n < y_n$,
$$
\lim _{n \rightarrow \infty}\left(y_n-x_n\right)=0 \text {, 且 } f\left(x_n\right)=f\left(y_n\right) 。
$$
证明 $\sum_{k=0}^n(-1)^k C_n^k \frac{1}{1+k+m}=\sum_{k=0}^m(-1)^k C_m^k \frac{1}{1+k+n}$
无穷乘积 $\prod_{n=1}^{\infty}\left(1+a_n\right)$ 收玫, 是否无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛。如果是证明你的结论, 如果不是举出反例。
设 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} x^n \ln x$, 计算 $\int_0^1 f(x) d x$
设定义在 $(0,+\infty)$ 上的函数二阶可导, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 有界,证明 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=0$ 。
设序列 $x_n$ 有界, 且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ 。
记 $\varlimsup_{n \rightarrow \infty} x_n=J, \varliminf_{n \rightarrow \infty} x_n=L .(J < L)$ 。
证明对 $[J, L]$ 中的任何实数都是 $x_n$ 中某子列的极限。
对 $p>0$, 讨论级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin \frac{n \pi}{4}}{n^p+\sin \frac{n \pi}{4}}$ 的绝对收敛性和收敛性。
求函数 $f(x)=\frac{2 x \sin \theta}{1-2 x \cos \theta+x^2}$ 在 $x=0$ 的泰勒展开。其中 $\theta$ 是常数. 并计算积分 $\int_0^\pi \ln \left(1-2 x \cos \theta+x^2\right) d \theta$.
证明 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} d x=\frac{\pi}{2}$, 并计算 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin ^2(x y)}{x^2} d x$ 。
已知函数 $f(x)=\frac{x^3}{(1+x)^2}+3$, 请列表给出: 函数 $f(x)$ 的增减区间、凹凸区间、极值点以及图像的拐点; 并给出函数 $f(x)$ 的所有渐近线.
求一组使得极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}\left(\sqrt{1+t^4}-1\right) d t}{\ln \left(1-x^\alpha\right)}=\beta \neq 0,(\alpha, \beta$ 为实数) 成立的 $\alpha, \beta$ 的值.
求函数 $f(x)=\max \left\{1, x^2\right\}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 上的一个原函数 $F(x)$,使得 $F(0)=1$.
计算定积分 $\int_0^\pi \sqrt{\sin x-\sin ^3 x} d x$.
已知函数 $f(x)$ 连续, 请讨论 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) d x$ 与 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) d x$ 的大小关系, 并计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\ln (1+\sqrt{\sin x})-\ln (1+\sqrt{\cos x})+\sin ^3 x}{2} d x$.
函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有一阶连续导数, 且对任意的 $x \in(0,+\infty)$满足 $x \int_0^1 f(t x) d t=2 \int_0^x f(t) d t+x f(x)+x^3$, 且 $f(1)=0$, 求 $f(x)$.
求由平面曲线 $y=x \sin x, y=x,\left(0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right)$ 所围成图形的面积, 及此图形绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积。
证明: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)$.