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试题 ID 9305
【所属试卷】
2023 年安徽大学大学生数学竞赛暨全国竞赛选拔赛 (非数学 B 类)试题
设 $x>0$ 时， $\left(1+x^2\right) f^{\prime}(x)+(1+x) f(x)=1 ， g^{\prime}(x)=f(x), f(0)=g(0)=0$.
证明: $\sum_{n=1}^{\infty} g\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$.
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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设 $x>0$ 时， $\left(1+x^2\right) f^{\prime}(x)+(1+x) f(x)=1 ， g^{\prime}(x)=f(x), f(0)=g(0)=0$.<br>证明: $\sum_{n=1}^{\infty} g\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{12}$. <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>