已知某商品的需求弹性为 $\eta=4 p^4, p$ 为商品的价格, 市场对该商品的最大需求量为 1 (单位: 万 元), 则需求函数 $Q=$
设 $a_n, b_n>0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ 且 $\int_{\sin a_n}^{a_n} e^{x^2} \mathrm{~d} x=b_n \ln \left(1+b_n\right)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_n^3}{b_n^2}=$
若 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\cos x-\frac{c+9 x^2}{c+4 x^2}$ 是 $x^2$ 的高阶无穷小，则 $c=$
设函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近由方程 $y+2 y^2+y^3=e^{-x}+x-1$ 所确定，且 $y=a x^2+b x^3+o\left(x^3\right)(x \rightarrow 0)$ ，则 $a+b=$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt[3]{\tan x}}{(\sin x+\cos x)^2} d x=$
设 $f(x)$ 连续且 $f(x+2)-f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}$ ， 则
$$
\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=
$$
$\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^x \sqrt{1+y^2} \mathrm{~d} y+3 \int_0^1 \mathrm{~d} y \int_1^{\sqrt{2-y^2}} \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x=$
设 $f(x, y)$ 在 $(2,-2)$ 处可微，且满足:
$$
f(\sin x y+2 \cos x, x y-2 \cos y)=1+x^2+y^2+o\left(x^2+y^2\right)
$$
则曲面 $z=f(x, y)$ 过点 $(2,-2, f(2,-2))$ 处的切平面方程为
设 $D$ 是由曲线 $\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$ 及两坐标轴围成的平面薄片型零件，其密度函数为 $\rho(x, y)=3 \sqrt{x}+2 \sqrt{y}$ ，则该零件的质量为
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{2 n^2}+\cdots+\sqrt[3]{n \cdot n^2}\right)=$
抛物线 $y=x^2-x$ 在点 $(1,0)$ 处的曲率是:
已知 $e^{-x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x^2 f(\ln x) d x=$
曲线段 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+1 \\ y=\frac{3}{2} t^2-1\end{array}(0 \leq t \leq 1)\right.$ 的弧长是:
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+x^2, & x < 0 \\ e^x, & x \geq 0\end{array}\right.$, 则 $\int_1^3 f(x-2) d x=$
已知二阶常系数齐次线性微分方程的一个特解为 $y=x e^x$, 则该方程为:
设 $y=y(x)$ 是由方程 $x+y=\arctan (x-y)$ 所确定的隐函数, 求导数 $\frac{d y}{d x}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0}(1+5 x)^{\frac{1}{\sin x}}$;
设 $f(x)=x e^x$, 求 $f^{(n)}(x), n \geq 1$;
求函数 $\arccos x$ 的Maclaurin展开式（到4阶）。
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $x=t+\sin t$ 及 $y=\arctan t-y^3(t>0)$ 所确定, 求 $\frac{d y}{d x}$;
求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{n^2+3 n^3}\right) \sum_{k=1}^n k e^{\frac{k}{n}}$;
已知 $f^{\prime}(x)=\sqrt{1+x^2}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right)$ 。
$\int \sqrt{x^2+2 x+2} d x$;
$\int_0^{2 \pi} \frac{1}{1+2 a \cos \theta+a^2} d \theta$, 其中实数 $a>1$;
设函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数存在, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=4$, 且 $f(x, 0)=2, f_y^{\prime}(x, 0)=x^2$, 则 $f(x, y)=$
积分 $I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{2 \cos \theta}\left[(r \cos \theta-1)^3+r \sin \theta\right] r \mathrm{~d} r=$
设 $\Sigma$ 为圆柱面 $x^2+y^2=4(0 \leqslant z \leqslant 1)$, 则 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y\right) \mathrm{d} S=$
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 的某邻域内可微, 且 $f(x, y+2)=2+3 x+4 y+o(\rho)$, 其中 $\rho=$ $\sqrt{x^2+y^2}$, 则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 处的全微分为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3}\left[1^2+3^2+\cdots+(2 n-1)^2\right]=$