设 $f(x)$ 满足 $\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=x \cos \pi x$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$
若 $z(x, y)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{x^2+x y+y^2}} \mathrm{~d} u$, 则 $\frac{x}{z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z} \frac{\partial z}{\partial y}=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n^2+n}\right)=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为
设 $\varphi(u)$ 为连续函数, 且 $\int_{y-x}^{x-y} \varphi(t-x-y) \mathrm{d} t=x^2+y^2+z$, 则 $y \frac{\partial z}{\partial x}-x \frac{\partial z}{\partial y}=$
设 $f(x, y)$ 满足 $f(x, 1)=0, f_y^{\prime}(x, 0)=\sin x, f_{y y}^{\prime \prime}(x, y)=2 x$, 则 $f(x, y)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3^n+2^n}{3^n+n^2}$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt[4]{(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)}-x)$
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n^2(n+1)^2}$
$\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{2 x-x^4}-\sqrt[3]{x}}{1-x^{\frac{4}{3}}}$
$f(x)=x^{\sin x}+(\cos x)^x, \quad x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$f(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}, \quad|x| < 1$
$f(x)=x \arctan x-\frac{1}{2} \ln \left(1+x^2\right)$
$f(x)=x+2 x^2 \sin \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$
已知方程 $3 x^4-8 x^3-6 x^2+24 x+a=0$ 有四个不相同的实根, 则 $a$ 的取值范围为
已知 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdots(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}$, 则 $f^{\prime}(1)=$
方程 $3 x y y^{\prime}(x)+x^2+y^2=0$ 的通解为
函数 $y=\arcsin \frac{x-1}{5}+\frac{1}{\sqrt{25-x^2}}$ 的定义域是
设 $y=\ln \left(x^2+e^{3 x}\right)$, 则 $d y=$
位于曲线 $y=\frac{e^x}{1+e^{2 x}}(x \geq 0)$ 下方、 $x$ 轴上方的无界图形的面积为
$\int_{-2}^2 \frac{\sin x^3+|x|}{1+x^2} \mathrm{~d} x=$
设 $\frac{\sin x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int a f(a x) d x=$
设某商品的需求函数为 $Q=100-2 p^2$, 则当 $p=5$ 时的边际需求为
设 $f(x y)=x^2+2 y^2$, 求其在 $(0,1)$ 处的最大方向导数
求 $\int_1^{e^2} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}=$
设 $x \geq 0, y \geq 0$, 满足 $x^2+y^2 \leq k e^{x+y}$, 则 $k$ 的取值范围是