一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
解方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=2 x^2$
求椭球面 $x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 上一点, 使得在这点的椭球面切平面与 $x-y+2 x=4$ 平行。
求函数 $u=x^3+2 y^2-3 x-12 y$ 的极值。
计算计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中曲线 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由 $z=3-x^2-y^2$ 和 $z=0$ 所围。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln ^2 n}{2^n}(x-2)^{2 n}$ 的收敛半径与收敛区间。
求球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截的上半部分在 $x o y$ 面上的投影区域的面积。
设 $x=e^{u+v}, y=e^{u-v}$, 试将方程 $x^2 z_{x x}^{\prime \prime}+y^2 z_{y y}^{\prime \prime}+x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=0$ 从化为关于自变量 $u, v$ 的方程 (假设 $z=z(x, y)$ 有连续的二阶偏导数)。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+2 y z\right) d y d z+\left(y^2+2 z x\right) d z d x+\left(z^2+2 x y\right) d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧。
计算 $\int_L\left(e^x \cos y+y^2\right) d x+\left(2 x y-e^x \sin y\right) d y$, 其中有向曲线 $L$ 是 $y=x^2$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$ 的一段。
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} x^n$ 的和函数。
证明 $\frac{3}{2} \pi < \iiint_{\Omega} \sqrt{x+2 y-2 z+5} d x d y d z < 3 \pi$,其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 。
试用Beta函数表示 $\int_0^{+\infty} \frac{x^a}{\left(1+x^2\right)^b} d x$, 其中 $a, b$ 为实数且 $a>0,2 b-a>1$ 。
已知平面 $\Sigma$ 经过直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+z=0 \\ x-y+2 z=0\end{array}\right.$ 且与平面 $\Sigma_0: 3 x+z=6$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 求 $\Sigma$ 的方程。
设曲面 $\Sigma$ 是由平面曲线 $r=a(1+\cos \theta)(a>0)$ 绕极轴旋转一周所成, 其中 $x$ 轴正向与极轴相重合。(1) 试写出 $\Sigma$ 在相应空间直角坐标系中的方程; (2) 求 $\Sigma$ 的面积。
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
设 $a>0$, 试确定 $a$ 的范围使得曲线 $y=a^x$ 与直线 $y=x$ 必相交 (要求说明理由)。
设函数 $f(x)$ 于 $[0,+\infty)$ 上连续, 且满足
$$
f(x)=\frac{1}{x^2+\left(\int_0^x f(t) d t+\sqrt{3}\right)^2},
$$
(1) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} f(x) d x$ 收玫, 且其值小于 $\frac{\pi}{2 \sqrt{3}}$;
(2) 设数列 $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ 满足 $x_{n+1}=\int_0^{x_n} f(t) d t, n \geq 1, x_1 \geq 0$, 试证: $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n$ 存在且有限。
设 $A=\left(a_{k j}\right)_{3 \times 3}$ 是3阶实方阵, $|A| \neq 0$, 记 $D(x)=\left(a_{k j}+x\right)_{3 \times 3}$及 $g(x)=\operatorname{det} D(x)$ 。（1）试求导数 $g^{\prime}(x)$ 并证明: $g^{\prime}(0)=|A| \alpha^T\left(A^{-1}\right) \alpha$, 其中向量 $\alpha^T=(1,1,1)$;
(2) 若 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $g^{\prime}(0)$ 。
已知 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, g^{\prime}(x)=\frac{1}{1+2 x}$, 且 $f(0)=g(0)=0$, 试求 $\lim _{x \rightarrow 0}\left[\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\right]$.
讨论方程 $\frac{1}{x}-\frac{1}{\mathrm{e}^x-1}=a$ 在 $(-\infty, 0)$ 与 $(0,+\infty)$ 内根的个数.
求 $x=\cos t(0 < t < \pi)$ 将方程 $\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}+y=0$ 化为 $y$ 关于 $t$ 的微分方程, 并求满足 $\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ 的解.
计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} 2(1-x y) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(x+1) y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 y z^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y,
$$
其中 $\Sigma$ 是弧段 $\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{x-1}, \\ y=0\end{array},(1 \leqslant x \leqslant 3)\right.$ 绕 $x$ 轴旋转一周所得的旋转曲面, $\Sigma$ 上任一点的法向量与 $x$ 轴正向夹角大于 $\frac{\pi}{2}$.
求极限
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{-\cot x}{\mathrm{e}^{-x}}+\frac{1}{\mathrm{e}^{-2 x} \sin ^2 x}+\frac{1}{x^2}\right)
$$
计算积分
$$
\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{1}{4 s}} s^{-\frac{3}{2}} \mathrm{e}^{-s} \mathrm{~d} s
$$
判断下列积分的正负, 并给出理由
$$
\int_0^{2 \pi} e^{-x^2} \cos x d x
$$
求极限
$$
\lim _{\substack{x_0 \rightarrow 0 \\ x_1 \rightarrow+\infty}} I\left(x_0, x_1\right)=\iint_S \frac{\mathrm{e}^{-x^2}}{\sqrt{y^2+z^2}} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z
$$
其中 $S$ 由 $x=y^2+z^2$ 和 $x=x_0, x=x_1\left(a>0, x_0 < x_1\right)$ 所围成, 方向取外侧.
求解以下问题
(1). 证明方程 $(x+1)^{x+1}=\mathrm{e} \cdot x^x$ 只有唯一正实根
(2). 若 $f(x)$ 二阶可导, $p(x)=x-x^2$，证明：
$$
\int_k^{k+1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{f(k+1)+f(k)}{2}-\int_k^{k+1} f^{\prime \prime}(x)p(x-[x])dx
$$
其中 $[x]$ 为取整函数.
(3) 若 $\beta$ 为(1)中方程的正实根，计算
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\beta+\frac{1}{n}\right)\left(\beta+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(\beta+\frac{n}{n}\right)
$$