解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明下列问题
(1). $\forall x>0, y \in R$, 则有 $x y < x \ln x-x+\mathrm{e}^y$;
(2). $\sum_{k=0}^n C_\alpha^k C_\beta^{n-k}=C_{\alpha+\beta}^n$, 其中
$$
C_\alpha^k=\frac{\alpha(\alpha-1) \cdots(\alpha-k+1)}{k !}, C_\alpha^0=1
$$
求证
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\int_0^1\left(a+x^n\right) f(x) \mathrm{d} x\right)^{\frac{1}{n}}=1+a
$$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 若
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f(x)=f(x+2 k)=f(x+b)
$
其中 $k$ 为正整数, $b$ 为正无理数, 则利用傅立叶级数证明 $f(x)$ 为一常数.